FFTW 反向变换乘以 N

Posted 2023-02-23

【中文标题】FFTW 反向变换乘以 N

【英文标题】：FFTW backwards transform is multiplied by N

【发布时间】：2020-07-13 17:21:58

【问题描述】：

基本上，CPP_FFTW(N, signal, backwards) = NP_IFFT(N, signal) * N 其中CPP_FFTW 是 C++ 中 FFTW 库的（浮动版本），NP_IFFT 是 Python 中的 numpy.fft.ifft。

这里的问题是CPP_FFTW(N, CPP_FFTW(N, signal, forwards), backwards) 等于N * signal，而不是人们可能期望的signal。

我可以除以N，但我的问题是我的N 非常大，所以我失去了浮点精度。它基本上破坏了我的程序；我在 C++ 和 Python 应用程序中有几乎相同的复数系数。但是，我失去了所有的精确度，因为我在执行反向变换后基本上使用了(c*N)/N。

是否有可能阻止这种乘法的发生？

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直到IFFT，系数几乎相同。这是IFFT之后的：

Python CPP

【问题讨论】：

你确定是这个问题吗？ fp 乘法即使乘以非常大的数也不会对相对精度产生很大影响。

@PaulPanzer 我不明白为什么结果首先会相乘？我在文档中没有找到任何内容

从技术上讲，它不会成倍增加。它只是没有标准化。如何规范化 FFT/IFFT 是一个因实现而异的约定问题。

@PaulPanzer CPP_FFTW(N, CPP_FFTW(N, signal, forwards), backwards) 应该等于 signal 是否有标准化。除非，两个方向之间的规范化不一致？

在规范化之后，我的浮点精度从 ~6 变为只有 3。然而，numpy 以某种方式能够保持正常的精度 - 诚然它的速度较慢

【参考方案1】：

正如您在the documentation 中看到的，FFTW 计算一个非标准化 变换。也就是说，需要额外除以信号的长度，才能在前向和逆变换后恢复输入信号：IFFT(FFT(signal))/N = signal。

Python NumPy FFT 是标准化的，它包括在逆变换中除以N。

请注意，这种额外的除法不会改变您的相对精度，因为信号中的所有值都除以完全相同的数字。

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附加信息：

一些库（例如 FFTW）计算非归一化 FFT，在逆变换中跳过除以 N 以提高速度，因为有时它可能没有必要。其他库完全定义了不同的归一化，例如，它们可能在正向变换而不是逆向变换中除以 N，或者在正向和反向变换中它们可能除以 N 的平方根。

【讨论】：

@orlp：你能举一个不正确的例子吗？

我也不明白这一点。增加足够大的值将导致浮点精度降低 - 所有值都乘以相同的数字有什么关系？

precision(complex) >= precision((complex*N) / N) 的精度。但是，如果您说的是真的，那么在这种情况下这并不重要，因为在这两个应用程序中，/ N 正在发生（并且没有* N）。

@TobiAkinyemi：相对精度是数字除以该数字的误差。 1e2 +- 1e-2 与 1e12 +- 1e8 或 1e-8 +- 1e-12 的精度级别相同。您正在考虑绝对精度。