最小顶点覆盖

Posted 2023-02-22

【中文标题】最小顶点覆盖

【英文标题】：Minimum vertex cover

【发布时间】：2016-03-20 05:55:05

【问题描述】：

我正在尝试为具有 50,000 个顶点的“几乎”树获取顶点覆盖。该图生成为一棵树，添加了随机边以使其“几乎”成为一棵树。

我使用了近似方法，您将两个顶点结合在一起，将它们添加到封面并从图中删除它们，然后转到另一组顶点。之后，我尝试通过删除所有邻居都在顶点覆盖内的顶点来减少顶点的数量。

我的问题是如何使顶点覆盖更小？我正在尝试尽可能低。

【问题讨论】：

这一切都取决于：有多少随机边？我们知道有 49999 条树边，但对 20 条随机边实用的算法不会适用于 1000000 条。

我没有确切的数字，但大约 1/3 的边缘是多余的。

【参考方案1】：

这是一个想法，但我不知道这是否是实践中的改进：

来自https://en.wikipedia.org/wiki/Biconnected_component “任何连通图都分解成双连通组件树，称为图的块切割树。”此外，您可以在线性时间内计算这种分解。

我建议当您合并并删除两个顶点时，您只对同一双连通组件中的两个顶点执行此操作。当您用完要合并的顶点时，您将拥有一组不相互连接的树。树上的顶点覆盖问题可以通过动态规划来解决：对于每个节点，如果该节点被添加到覆盖中并且如果该节点没有被添加到覆盖中，则计算最佳答案的成本。给定子节点的最佳答案，您可以计算节点的答案。

另一种方法 - 据我所知 - 将计算图的最小生成树并使用动态编程来计算该树的最佳顶点覆盖，忽略树外的链接，删除覆盖的链接图形，然后像以前一样继续合并顶点。

我认为我更喜欢最小生成树之一。在生成最小生成树时，您正在删除少量链接。一棵有 N 个节点的树有 N-1 个链接，所以即使你没有取回原来的树，你也会得到一个与它一样多的链接。完整图的顶点覆盖也是最小生成树的顶点覆盖，因此如果完整图的正确答案具有 V 个顶点，则对于具有最多 V 个顶点的最小生成树的答案。如果有 k 个随机边添加到树中，则需要添加 k 个边（不一定相同）以将最小生成树变成完整图。您当然可以确保这些新边最多被 k 个顶点覆盖。因此，如果最优答案有 V 个顶点，您将获得一个最多有 V+k 个顶点的答案。

【讨论】：

我实际上可以通过做一些其他事情来降低很多。我没有使用婚姻近似，而是在寻找叶子，我会删除这些叶子的邻居。然后在没有叶子之后，我会寻找度数最高的顶点并将其删除。由于删除一个顶点也会删除所有从它出来的边，我会一直这样做，直到图中的每个顶点的度数都为 0。但是谢谢你的建议。我会尝试实现它，看看我是否可以更低！

@Ccyan：选择叶子的邻居是众所周知且有效的保持最优性的减少。还有其他几个，例如 Crown reduction，在固定参数可追踪性领域众所周知（其中 Vertex Cover 是研究得最充分的问题之一）——请查看那里的文献了解更多信息。

【参考方案2】：

这是一个精确答案的尝试，当只添加少量链接时，或者当它们不会改变节点间距离时，它是易于处理的。

找到最小生成树，将边分为“树边”和“添加边”，其中树边形成最小生成树，添加边不是为此选择的。它们可能不是在构造过程中实际添加的边缘，但这并不重要。 N 个节点上的所有树都有 N-1 条边，因此我们添加的边数与创建期间使用的相同，即使边数不同。

现在假设您可以偷看书后的答案，足以看到，对于每个添加的边的一个顶点，该顶点是否是最佳顶点封面的一部分。如果是，您可以从问题中删除该顶点及其链接。如果不是，则必须是另一个顶点，以便您可以从问题中删除它及其链接。

您现在必须为一棵树或许多断开连接的树找到一个最小顶点覆盖，我们知道如何做到这一点 - 请参阅我的其他答案以了解更多信息。

如果您无法从书后偷看答案，并且有 k 个附加边，请尝试书后可能出现的所有 2^k 个可能的答案，并找到最佳答案。如果幸运，那么添加的链接 A 与添加的链接 B 位于不同的子树中。在这种情况下，您可以将添加链接 A（或 B）的两种可能性所需的两个计算限制为相关子树的动态规划计算，因此你只是把工作翻了一番，而不是翻了两番。一般来说，如果你的 k 个添加的边在 k 个不相互干扰的不同子树中，则成本乘以 2 而不是 2^k。

【参考方案3】：

最小顶点覆盖是一个 NP 完全算法，这意味着即使是 100 个顶点（更不用说 50k），你也无法在合理的时间内解决它。

对于一棵树，有一个基于 DFS 的多项式时间贪婪算法，但是您“添加了随机边”这一事实搞砸了一切，使该算法无用。

Wikipedia has an article about approximation algorithm，声称它达到了因子 2，并声称没有更好的算法已知，这使得您不太可能找到一个。

【讨论】：

当图是一棵树加上少量添加的边时，我相信你可以做得更好。这并不试图为一般情况产生更好的近似值。我已经编辑了我的答案，为这个想法的成本提供了一个上限。

我正在做近似值，只是想知道是否有更好的方法可以进一步减少它。

@mcdowella 如果您有一千个中的额外边数很少（1-2），则可以这样做，但在 OPs 的情况下，它是额外边数的 1/3，在我的意见太多了