构建覆盖特定顶点子集的最小生成树

Posted 2023-03-31

【中文标题】构建覆盖特定顶点子集的最小生成树

【英文标题】：Construct a minimum spanning tree covering a specific subset of the vertices

【发布时间】：2011-10-07 09:21:43

【问题描述】：

我有一个无向的正边权重图 (V,E)，我想要一个覆盖顶点子集 k 的最小生成树 V（施泰纳树问题）。

我没有将生成树的大小限制为 k 个顶点；相反，我确切地知道 哪些 k 个顶点必须包含在 MST 中。

从整个 MST 开始，我可以减少边/节点，直到获得包含所有 k 的最小 MST。

我可以使用 Prim 算法得到整个 MST，并在子集 k 的 MST 没有被破坏的情况下开始删除边/节点；或者，我可以使用 Floyd-Warshall 来获得所有对的最短路径并以某种方式合并这些路径。有没有更好的方法来解决这个问题？

【问题讨论】：

如果我删除不需要的顶点，我可能还会丢失连接相距很远的k 顶点的中间边。例如，如果我有：k--o--o--o--k 其中o 表示不必要的顶点，k 表示我需要的顶点，如果我删除了中间的o，则无法在我的k 顶点之间构造 MST。

所以你对最小生成树感兴趣，它不一定跨越所有顶点，只跨越 k 中的顶点？

没错。至少包含所有 k 的 MST，然后尽可能少地包含其他内容。

您好，您能解决您的问题吗？如果可能的话，你能帮忙处理伪代码/代码吗？我有类似的问题，但图表未加权。

这个问题不清楚k是数字还是集合。你能澄清一下吗？

【参考方案1】：

这里有很多混乱。根据OP所说的：

我并没有将生成树的大小限制为 k 个顶点；相反，我确切地知道哪些 k 个顶点必须包含在 MST 中。

这是图上的 Steiner 树问题。 这不是 k-MST 问题。 Steiner 树问题是这样定义的：

给定一个加权图 G = (V, E)，一个子集 S ⊆ V 的顶点， 和一个根 r ∈ V ，我们想找到一个最小权重树，它将 S 中的所有顶点连接到 河。 1

正如其他人所提到的，这个问题是 NP-hard。因此，您可以使用近似算法。

早期/简单近似算法

两个著名的方法是Takahashi 方法和Kruskal 方法（两者都已被 Rayward-Smith 扩展/改进）：

Takahashi H, Matsuyama A：图中 Steiner 问题的近似解。数学。日本 1980 年，24:573–577。 Kruskal JB：关于图的最短生成子树和旅行商问题。在美国数学学会会刊，第 7 卷。 1956：48–50。 Rayward-Smith VJ，Clare A：关于寻找 Steiner 顶点。网络 1986，16：283–294。

---

Takahashi 的最短路径逼近（Rayward-Smith 修改）

---

Kruskal 的近似算法（由 Rayward-Smith 修改）

---

现代/更高级的近似算法

在生物学中，最近的方法使用空腔方法来处理该问题，这导致了一种“修正的信念传播”方法，该方法在大型数据集上显示出良好的准确性：

Bayati, M.、Borgs, C.、Braunstein, A.、Chayes, J.、Ramezanpour, A.、Zecchina, R.：斯坦纳树的统计力学。物理。牧师莱特。 101（3），037208（2008）15。 对于应用程序：用于最佳子网络识别的施泰纳树方法：一项实证研究。 BMC 生物信息学。 BMC 生物信息学 2013 30；14:144。 Epub 2013 年 4 月 30 日。

在搜索引擎问题的背景下，方法侧重于在一定程度上可以预处理的超大型数据集的效率。

G. Bhalotia、A. Hulgeri、C. Nakhe、S. Chakrabarti 和 S. Sudarshan。使用BANKS在数据库中进行关键字搜索和浏览。 ICDE，第 431-440 页。 G. Kasneci、M. Ramanath、M. Sozio、F. M. Suchanek 和 G. Weikum。 STAR：关系图中的斯坦纳树近似。在 ICDE'09，第 868-879 页，2009 年

【讨论】：

非常感谢您。这篇文章让我在 SteinerNet 包中找到了一个不错的 R 实现

【参考方案2】：

你所说的问题是一个著名的 NP-hard 问题，称为Steiner tree in graphs。多项式时间内没有已知的解决方案，许多人认为不存在这样的解决方案。

【讨论】：

实际上，图中的 Steiner 树有一组固定的 k 个顶点作为输入，而 OP 只给出 k 并让算法找到集。这个问题称为k-MST，也是NP-hard。参见***上的problems related to MST。

@Palec 实际上，这是错误的。 “我没有将生成树的大小限制为 k 个顶点；而是我确切地知道哪些 k 个顶点必须包含在 MST 中。”这个问题是施泰纳树问题。

另外，-1 到 @meh，因为问题是 NP-hard 的事实并不意味着我们无法通过近似算法获得有用的解决方案。这个答案无助于 OP 解决他的问题。

【参考方案3】：

在受限图 (k, E') 上运行 Prim 算法，其中 E' = (x, y) ∈ V : x ∈ k 和 y ∈ k）。构建该图需要 O(|E|)。

【讨论】：

这在某些时候可能会正常工作，但甚至不能保证 E' 已连接 - 即使是这样，也可以通过引入 Steiner 点来节省任意多的距离（即，不在 k 中的顶点）。 （如果距离服从三角不等式，则小于“任意多”，但没有任何说法必须这样做。）

@j_random_hacker 有兴趣发布替代解决方案吗？

@user2398029：我赞成 meh 的回答（我不知道为什么“Bill the Lizard”删除了 adi 更早的回答，说的基本相同）。基本上这是一个 NP-hard 问题，需要优化解决；如果你谷歌“施泰纳树近似”，你可能会得到一些好的算法。

@user2398029：从 adi 的回答中查看此链接的第 3 章可能会有所帮助：cc.gatech.edu/fac/Vijay.Vazirani/book.pdf。 （我（重新）在此处发布此内容，因为我可以看到已删除的帖子，但我不确定代表截止日期是什么。）