为啥使用 2 个嵌套循环（O(n^2) 复杂度）解决两个和问题，在仅更改循环计数器逻辑时运行得更快？

Posted 2023-02-22

【中文标题】为啥使用 2 个嵌套循环（O(n^2) 复杂度）解决两个和问题，在仅更改循环计数器逻辑时运行得更快？

【英文标题】：Why solving the two sum problem using a 2 nested loops, O(n^2) complexity, run much faster when only changing the loops counter logic?为什么使用 2 个嵌套循环（O(n^2) 复杂度）解决两个和问题，在仅更改循环计数器逻辑时运行得更快？

【发布时间】：2019-12-02 11:33:41

【问题描述】：

解决two sum 问题可以使用 O(n) 复杂度算法来实现，但是，我只是尝试了 O(n^2) 复杂度，这是使用 2 个嵌套循环检查每个 ith 之和的简单方法整数，其余整数都针对目标值，以下是 O(n^2) 实现，对于 2 个实现，nums 是整数数组，n是 nums 的大小，indices 是一个大小为 2 的数组，用于保存 2 个整数的索引

for(int i=0; i<n; ++i)
for(int j=i+1; j<n; ++j) 
    if(nums[i] + nums[j] == target) 
        indices[0] = i; indices[1] = j; return indices;
    

这个实现在 140 毫秒内解决了这个问题。我尝试了另一种 O(n^2) 方法，即对于从 1 到 n-1 的每个 k 值，检查第 i 个整数和第 (i+k) 个整数的和与目标值，以下是实现，

for(int k=1; k<n; k++)
for(i=0; i<n-k; i++) 
    int j=i+k;
    if(nums[i] + nums[j] == target) 
        indices[0] = i; indices[1] = j; return indices;
    

如您所见，相同的循环体，但运行速度更快，运行时间为 8 毫秒。这是为什么？是否与空间局部性有关？

【问题讨论】：

也许你的if 代码很少被执行。因此，您通常应该使用几个不同的基准测试（而不仅仅是一个测试用例）来备份您的测量结果。

您可以查看生成的代码以了解编译器如何处理代码。 godbolt.org 之类的网站对此非常有用，因为您可以同时查看这两个变体。

请包含输入数据。或者更好的是，提供minimal reproducible example。

【参考方案1】：

公平的比较会使两个程序都执行到最后，但仍然找不到索引。从外观上看，您正在针对存在答案的案例进行测试。当然，在这种情况下，我们搜索答案的顺序非常重要。

例如，当唯一的答案是 n - 2, n - 1 时，第一个代码需要 O(n^2) 次操作才能找到它，而第二个代码需要 O(n) 才能找到它。生成代码：

std::fill (&num[0], &num[0] + n, 0);
target = 2;
num[n - 2] = 1;
num[n - 1] = 1;

相反，当唯一的答案是0, n - 1 时，第一个代码在 O(n) 中找到它，而第二个代码将花费 O(n^2) 步。生成代码：

std::fill (&num[0], &num[0] + n, 0);
target = 2;
num[0] = 1;
num[n - 1] = 1;

&num[0] 的作用是确保无论num 是数组还是向量，它都能正常工作。

【讨论】：

是的，正如你所说，这完全是关于 2 个整数的位置。当没有解决方案时，它们的运行时间几乎相同。