时间复杂度

Posted 2020-12-24 sunice

程序中循环嵌套通常要求嵌套2层。如果嵌套超过2层，需要重新考虑编码方式。背后的一个考量维度就是时间复杂度（五个判断维度：正确性、可读性、健壮性、时间复杂度、空间复杂度）。

时间复杂度是算法效率的衡量方法，可以简单判定一个算法是否优秀。
公式：T(n)= O(f(n))
解释：
T(n)：语句总的执行次数是问题规模n的某个函数，这个函数用T(n)表
示。
f(n)：辅助函数，是T(n)的同数量级函数。n趋近于无穷大时，使
T(n)/f(n)的极限值出现不等于零的常数。
O：时间复杂度的表示。
在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，需要分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。
最简单判断方法：找最坏情况。

举例：

 1 for (int i = 0; i < n; i++)
 2 {
 3     for (int j = 0; j < n; j++)
 4     {
 5          a[i][j]=0;
 6          for (int k = 0; k < n; k++)
 7          {
 8              c[i][j] = a[i][k] * b[i][k]; //最坏情况，执行n^3。时间复杂度表示为：T(n)=O(n^3)
 9                                     
10          }
11     }
12 }

常数阶

1 Console.WriteLine("1");
2 --------------------------------
3 int a=0;
4  Console.WriteLine(a);

只执行一次，时间复杂度O（1）

线性阶

1 int x = 100, sum = 0;
2 for (int i = 0; x < n; i++)
3 {
4     sum = sum + i;
5 } 

问题规模：sum = sum + i 线性增长，每次增长1，时间复杂度O(n)。

平方阶

1 for (int i = 0; i < n; i++)
2 {
3     for (int j = 0; j < n; j++)
4     {
5         Console.WriteLine("abc");
6     }
7 } 

外层代码执行1次，内层执行N次，外层执行N次，总共执行N^2次，时间复杂度O(n^2)。

对数阶

1 int i = 1; n = 100;
2 while (i < n)
3 {
4     i = i * 2;
5 }

最坏方法判断：每次都为2的倍数，i>=n，循环结束。
则 2^x=n，求对数即可。x=log2n，循环时间复杂度O(log2n)

常数阶O(1),对数阶O(  ),线性阶O(n),线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n^2)，立方阶O(n^3),k次方阶O(n^k),指数阶O(2^n)。
随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率逐渐降低。

实际应用：完成1+2+3+4………+100=5050的编码。

普通人：

1 for(int i=1;i<=100;i++)
2 {
3    sum=sum+i;
4 }

时间复杂度:O(n)

高斯的算法（首位相加方法）：

1 Sum=(1+100)*100/2

时间复杂度：O(1)
首位相加方法只执行一次，普通方法执行n次，所以，这种方法效率高。

用代码简单判断程序执行时间：

 

斐波那契数列（递归部分）

1 static int Fibonaccil(int n)
2 {
3     if (n == 1 || n == 2)
4     {
5         return 1;
6     }
7     return Fibonaccil(n - 1) + Fibonaccil(n - 2);
8 }

时间复杂度：O(2^n)

递归求解F(n),必须先计算F(n-1)和F(n-2),计算F(n-1)和F(n-2)，又必须先计算F(n-3)和F(n-4)。。。。。。以此类推，直至必须先计算F(1)和F(0),然后逆推得到F(n-1)和F(n-2)的结果。

可以从细胞分裂的角度考虑：

细胞分裂。1个细胞第一次分裂，2个细胞。第二次分裂，4个细胞。。。。。。。以此类推，N次分裂后，有2^n个细胞。

斐波那契数列解释：

斐波那契数列，又称为“兔子数列”。
起始状态：
1、一对兔子，每对兔子每个月能生出一对小兔子。
2、新兔子两个月后具有繁殖能力。
第一个月有1对兔子，第二个月后，小兔对数共有两对，第三个月有3对兔子，老兔子繁殖，新兔子没有繁殖能力。第4个月后有5对兔子。。。。。。。