如何在加权图中找到最长的路径？

Posted 2023-02-19

【中文标题】如何在加权图中找到最长的路径？

【英文标题】：How do I find the longest path in a weighted graph?

【发布时间】：2022-01-19 05:29:21

【问题描述】：

如果给我一个包含货币兑换率的数据结构：

与交换价值的货币关系列表。 （印度卢比 - 美元）

那我怎样才能找到从货币1到货币2的最佳汇率呢？

我的思考过程： 方法一：

如果我获取交换值列表并将其转换为图形 - 邻接表和权重列表（因为这似乎是加权图问题），我可以使用 DFS 查找所有可能的路径，然后保留跟踪生成最高汇率的路径（因此我将乘以路径中的每个转化率并将其存储。每当路径生成更好的转化率时，我会更新此变量，因此我有最大值）

请评论此算法的正确性。我的想法正确吗？这会产生正确的结果吗？

我马上看到的一个问题是，这是非常低效的，因为它需要指数级的时间。

方法 2：我可以直接否定所有转换并使用 Bellman Ford 吗？因为 Bellman Ford 用于在加权图中找到成本最低的路径。

谢谢。任何指导将不胜感激

【问题讨论】：

您没有指定是否有 DAG，但如果有，则有针对该特殊情况的有效算法，即线性时间运行的算法。

还要小心贝尔曼福特方法。只有可以重用边缘才是正确的，我怀疑考虑到您要解决的问题，您只想遍历边缘一次。在这种情况下，您的问题是 NP 难题：en.wikipedia.org/wiki/Longest_path_problem

【参考方案1】：

您的直觉是正确的 - 您可以使用 DFS，它会为您提供最佳汇率（按重量计算的最短路径），但对于大型图表来说会非常慢。

您的第二种方法（Bellman Ford）是一个更好的主意。正如您所提到的，您必须将汇率/边权重相乘，而不是相加，但这不应该造成任何问题。

我假设您已经解决了这个问题，但是对于将来引用它的任何人-您不能使用 Dijkstra 的算法或其后代（如 A*），因为从本质上讲，该图具有负循环。您可能会找到低于1 的转换率，并可能利用它来获得总体较低的最低转换率（然后您只需将两种货币反转，以获得相反方向的最大转换率）。

数学题外话：

更清楚地看到这一点的方法 - 假设我们有一些转换率，在 3 对货币之间 - A、B 和 C。假设单位签出，这三个交易所的整体转换率R 将是R = A * B * C。我们可以这样写的另一种方式是R = e ^ log(A * B * C)，其中e 是欧拉数，log() 是自然对数（我们也可以使用10 和log10()，或任何其他基数）。用对数规则重写，我们可以得到R = e ^ (log(A) + log(B) + log(C))，最后是log(R) = log(A) + log(B) + log(C)。

现在，如果我们不关心 R 的实际值，即最大/最小（或者我们愿意执行一些幂运算来得到它），我们可以满足于计算 log(R) ，或汇率的对数。这样做的好处是，权重在转换为对数的同时，相加在一起，而不是相乘。这使我们能够原封不动地使用传统的图算法实现（我们只给它们log(weight) 而不是weight）。如果我们尝试给它通常介于0 和1 之间的东西，我们会看到log(x) 实际上变成了负数，暴露了该边缘的真实性质，以及它可能产生的潜在负循环。

总结

您可能希望使用 Bellman-Ford，只需将加法替换为乘法即可。如果您手头有一个现有的实现，但它利用加法来组合边缘权重，您可以通过传递边缘权重的log() 来轻松作弊，事情将“自动”工作。

【讨论】：

嘿狄龙，这对我来说很有意义。我有一些后续问题：当有负边缘时，贝尔曼福特不工作。不用担心，因为我们的图表都是积极的。但是，Bellman Ford 旨在获得最短路径。我们想要“最长”的路径。因此，为了符合算法的标准，在我的第二种方法中，我说我们可以否定所有边缘权重，以便贝尔曼福特在选择最短路径时实际上是在选择最长路径。但是，如果将所有边权重乘以 -1 会产生负循环怎么办？

@Rayyankhan Bellman Ford 确实适用于负边缘 - 当存在负 循环 时它不起作用。此外，您的图表并非都是积极的，而不是在考虑加法时（请参阅我的数学题外话）。如果有一个负循环，你就可以赚到无限的钱，因为你只是一遍又一遍地重复交换循环来赚越来越多的钱。

我忘了在原帖中提到这一点——你当然会想要使用有向边。这可能很明显，但我还是想提一下