切比雪夫多项式

Posted 2023-05-16

参考技术A

切比雪夫多项式 是与棣莫弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。通常，第一类切比雪夫多项式以符号 表示，第二类切比雪夫多项式用 表示。切比雪夫多项式 或 代表 阶多项式。

切比雪夫多项式 分别是第一、第二类切比雪夫微分方程的解：

此时母函数表示为：

此时母函数表示为：

切比雪夫不等式

1. 切比雪夫不等式

(P(|X?EX|≥?)≤DX/?^2)
等价的是：
(P(|X?EX|<?)≥1?DX/?^2)
证明：
设连续型变量X的密度函数是f(x),事件|X?EX|≥?表示X落在区间(EX??,EX+?)外部。所以（将上下限扩展到正负无穷会比原来大）：

反之，
(P(|X?EX|<?)≥1?DX/?2)

应用切比雪夫不等式必须满足E(X)和D(X)存在且有限这一条件。

2. 切比雪夫大数定理：

设X₁，X₂，…，X_n，…是相互独立的随机变量序列，数学期望E(X_i)和方差D(X_i)都存在(i=1，2，…)，且D(X_i) < K (i=l，2，…)，则对任意给定的ε>0，有