切比雪夫多项式的马尔科夫定理的证明？

Posted 2023-05-16

很急！！！中心极限定理:　概率论中有关论证随机变量之和的极限分布为正态分布的定理 即:如果x的绝对值<=1时,n次多项式f(x)的绝对值小于等于M,那么当x的绝对值小于等于1时，导数的绝对值小于等于Mn^2 求其证明

参考技术A 马尔科夫不等式的简证引理1：不超过n-1次多项式Q(x)满足：（1-x^2）^(1/2)|Q(x)|<=1,[-1,1],则|Q(x)|<=n
,[-1,1].
在cos((2k-1)/2n)\pi处用Langange插指多项式。（注意用Chebyshev多项式）
引理2：S(x)=a_1sin(x)+……+a_n
sin(nx),且|S(x)|<=1恒成立，则|S(x)/sin(x)|<=n
引理3：l(x)=a_0/2+sum_k=1^n(a_kcos(kx)+b_ksin(kx)),若max|l(x)|<=1,则
max|l^prime(x)|<=n.
用引理2
设max|p(x)|=1,只要证max|p(x)|<=n^2，令x=cos(y)
将p(cos(y))写成引理3中形式，可得(1-x^2)^(1/2)|p^prime(x)|<=n
由引理1指结论成立
在令p(x)为Chybyshev多项式不等式无法改进。

概率论与数理统计猴博士 笔记 p38-40 切比雪夫不等式大数定律中心极限定理

文章目录

• • 切比雪夫不等式
  • 大数定律
  • 中心极限定理

切比雪夫不等式

题干特征：

1. 求的P里面有不等式
2. 求的概率的事件是某个绝对值
3. 求的P里面的不等式符号与外面的不等式符号相反

满足以上特征就要用到切比雪夫不等式。

做法：
注意：公式求出来的是绝对值大于等于a的概率

下面练习一下套公式：
例1：

解：
直接套公式.
答案1/4

例2：

解：
E(X+Y)=EX+EY=0;
满足条件，可以直接套公式。
由上节课内容：已知相关系数和方差，可求协方差Cov(X,Y).
已知DX,DY,Cov(X,Y)，可求D(X+Y)——D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y).

答案为D(X+Y)/a²=1/12

例3：

解：
套公式可知：
P|X-2|>=4=3/16
所以P|X-2|<4=1-3/16=13/16

大数定律

题干特征：

• 随机变量相互独立且都服从同一个分布
• 求n->∞时的P的极限/收敛

图中的四种描述方式其实表示同一个意思。

做法：

例题1：

解：

7/2的来源：

例题2：这里题目给错了，没有那个平方。

解：

EX=2的来源：

中心极限定理

题干特征：

• 变量独立同分布
• 求X和

做法：

例题1：

解：
指数分布：

套公式得C。

例题2：

解：
由题意得到EX和DX，根据中心极限定理可知Sn~N(nEX，nDX)。
将Sn标准化，得到的式子与题目给出的带有a、b的式子相似，通分一下可以得出a、b。

期望和方差的来源：

例3：

解：
最多可以装98箱。

P与fai 的转化：