数理统计 —— 总体样本统计量及其分布

Posted 2022-11-25

文章目录

• ​​1. 总体与样本​​

• ​​1.1 总体​​
• ​​1.2 样本​​

• ​​1.2.1 定义​​
• ​​1.2.2 分布​​

• ​​2. 统计量及其分布​​

• ​​2.1 统计量​​

• ​​2.1.1 定义​​
• ​​2.1.2 常用统计量​​

• ​​2.1.2.1 两类常用统计量​​
• ​​2.1.2.2 常用统计量的性质​​

• ​​2.2 三大分布​​
• ​​2.3 正态总体下常用结论​​

1. 总体与样本

1.1 总体

• 研究对象的全体称为总体，组成总体的每一个元素称为个体。在对总体进行统计研究时，我们所关心的是表征总体状况的某个（或某几个）数量指标 （可以是向量）和该指标在总体中的分布情况。

• 例如：总体是一批灯泡， 是寿命；总体是某市市民，

• 我们把总体与随机变量 等同起来，说 "总体 "。所谓总体的分布就是指随机变量

1.2 样本

1.2.1 定义

• n个相互独立且与总体 具有相同概率分布的随机变量 所组成的整体 称为来自总体 ，容量为 的一个简单随机样本，简称 ​​样本​​
• 样本中的每个随机变量都独立同分布于总体 ，即
• 一次抽样结果的n个具体数值 称为样本 的一个 ​​​观测值​​​ 或 ​​样本值​​

1.2.2 分布

• 对于容量为n的样本 ，假设总体 的分布函数为 ，则 的分布函数为
  

• 若为离散型随机变量，概率分布为 ，联合分布为
  ​
• 若为连续型随机变量，概率密度为 ，联合概率密度为
  ​

2. 统计量及其分布

2.1 统计量

2.1.1 定义

• 设 为来自总体 的一个样本， 为n元函数，如果g中不含任何未知参数，则 称 为样本 的一个​​统计量​​。
• 若 为样本值，则称 为 的 ​​​观测值​​
• 说明：

• 直观上，统计量是由统计数据计算得来的量。数学上，统计量是样本
• 作为随机变量的函数，统计量也是随机变量

2.1.2 常用统计量

2.1.2.1 两类常用统计量

1. 数字样本特征：

• ​​样本均值​​​：
• ​​样本方差​​​：
  ​​​样本标准差​​​：
• ​​样本k阶（原点）矩​​​：
• ​​样本k阶中心矩​​​：

2. 顺序统计量：

• 将样本 的n个观测量按其取值从小到大的顺序排列，得
  ​
  随机变量 称作第 ，其中 是最小的顺序统计量，而 是最大顺序统计量，即
  ​
• 注：

• 推导1
  
• 推导2
  

3. 说明：

• 样本均值就是样本的一阶原点矩
• 样本方差不是二阶中心距。和期望不同，虽然算方差时也有n个元素求和，但系数不是 而是 ，这样调整是为了估计的无偏性

2.1.2.2 常用统计量的性质

• 设总体 的期望 ，方差 ， 是取自总体 ，容量为 的一个样本， 分别为样本均值和方差，则

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

• 说明

• 由于 独立同分布，每个样本的期望和方差都与总体相同，其波动中心一致，因此均值的期望不变；波动程度相当于做了均值滤波减小了，因此方差为原先的
• 样本方差 系数是 的原因就是为了使 为无偏估计 ，分析如下
  

2.2 三大分布

• 分布、 分布、
• 不必记忆三种分布的概率密度，只需了解相应变量的典型模式，以及它们的分布曲线的示意图和分位数，会查相应分位数的数值表即可
• 分布名下标表示 “上分位点”

2.2.1 分布

1. 典型模式

• 若随机变量 相互独立，且都服从标准正态分布（即 ），则随机变量 服从 ​​​自由度​​​ 为 的 分布，记为 。特别地，
• 的概率密度 如下所示
• 对给定的 ，称满足
  
  的 为 分布的上 分位点，如下所示
  
  对于不同的 和 n， 分布的上
• 说明：

• 自由度是指和式中独立变量个数
• 上 分位点为 意指：点 右侧，概率密度曲线 下方与x轴围成的面积为

2. 性质

• 分布可加性：若 ，， 与 相互独立，则 。一般地，若 ， 相互独立，则
• ，则

2.2.2

1. 典型模式

• 设随机变量 ， 与 相互独立，则随机变量 服从自由度为 的 分布，记为
• 分布的概率密度 的图形关于 对称，因此

2. 性质

• 由 分布概率密度 图像对称性，有，故
• ，则

2.2.3

1. 典型模式

• 设随机变量 ，且 与 相互独立，则 服从自由度为 的 分布，记为 ，其中 称为第一自由度，
• 分布的概率密度函数 如图所示

2. 性质

• 若 ，则
• ，证明如下
  

2.3 正态总体下常用结论

• 设 是来自正态总体 的一个样本，

1. ，即
   
2. 
   
3. ，(未知时，在(2)中用代替)

• 欲使用公式 (2) 而期望 未知时，使用均值 代替期望
• 这个证明困难，只要知道结论即可。直观上理解，由于 中各随机变量

4. 与 相互独立， ，进一步有

• 欲使用公式 (1) 而标准差 以上是关于数理统计 —— 总体样本统计量及其分布的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

  统计学知识小结

  概率论与数理统计:数理统计的基本概念

  数据挖掘——统计学分析（五：统计量）

  怎样估计样本量的大小？

  [SPSS]学习笔记--数据分布形状描述

  11.28