统计量及其统计抽样分布
统计量
def.统计量
\(\quad\quad\) 不依赖于任何未知参数，仅与样本相关的量，一般记为\(T(X_1, \ldots,X_n)\)
常用统计量
\(\quad\quad\) \(m_k =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i^k\) 样本k阶(原点)矩 反映 总体k阶矩
\(\quad\quad\) $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i $样本均值 反映 总体X数学期望，即样本一阶原点矩
\(\quad\quad\) \(\nu_k = \frac{1}{n-1} \sum_{i-1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\) 样本k阶中心矩 反映 总体k阶中心距
\(\quad\quad\) \(S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2\) 样本方差 反映 总体X方差，即样本二阶中心矩
\(\quad\quad\) 值得注意的是：
\(\quad\quad\)\(\quad\quad\) 中心距的\(\frac{1}{n}\) 被修正为\(\frac{1}{n-1}\)
次序统计量
\(\quad\quad\) 如中位数，分位数，极差等，都是由次序决定的一类重要统计量
充分统计量
\(\quad\quad\) 假如某个统计量被提取后能 包含 有关总体的全部信息，称其为充分统计量
\(\quad\quad\) 比如，当已知\(X=(X_1,\ldots,X_n)\) 为来自\(N(\mu, \sigma^2)\) ，
\(\quad\quad\)\(\quad\quad\quad\)若\(\sigma^2\) 已知，则认为\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\) 为 \(\mu\) 的 充分统计量
渐近分布
\(\quad\quad\) 我们想要知道当样本量\(n\to\infty\) 时，统计量\(T(X_1, \ldots,X_n)\) 的极限分布会是怎么样
\(\quad\quad\) 比如在下文中的中心极限定理，其实就是在说\(\frac{\sqrt{n}\thinspace \overline{X}} {\sigma} \to N(0,1)\)
\(\quad\quad\) 同时我们也不难知道\(S^2 \to \sigma ^2\) ，因此其实可以说\(\frac{\sqrt{n}\thinspace \overline{X}} {S} \to N(0,1)\)