平衡二叉树算法时间复杂度分析与优点

Posted 2023-04-19

平衡二叉树的时间复杂度是log(n)，如果二叉树的元素个数为n，那么不管是对树进行插入节点、查找、删除节点都是log(n)次循环调用就可以了。它的时间复杂度相对于其他数据结构如数组等是最优的。 参考技术A

平衡二叉树（AVL）

那对图 1 进行下改造，把数据重新节点重新连接下，图 2 如下：

图 2 可以看到以下特性：

1. 所有左子树的节点都小于其对应的父节点（4，5，6）<（7）；（4）<（5）；（8）< （9）；

2. 所有右子树上的节点都大于其对应的父节点（8，9，10）>（7）；（6）>（5）；（10）>（9）；

3. 每个节点的平衡因子差值绝对值 <=1；

4. 每个节点都符合以上三个特征。

满足这样条件的树叫平衡二叉树（AVL）树。

问：那再次查找节点 5，需要遍历多少次呢？

由于数据是按照顺序组织的，那查找起来非常快，从上往下找：7-5，只需要在左子树上查找，也就是遍历 2 次就找到了 5。假设要找到叶子节点 10，只需要在右子树上查找，那也最多需要 3 次，7-9-10。也就说 AVL 树在查找方面性能很好，最坏的情况是找到一个节点需要消耗的次数也就是树的层数， 复杂度为 O(logN)

如果节点非常多呢？假设现在有 31 个节点，用 AVL 树表示如图 3：

图 3 是一棵高度为 4 的 AVL 树，有 5 层共 31 个节点，橙色是 ROOT 节点，蓝色是叶子节点。对 AVL 树的查找来看起来已经很完美了，能不能再优化下？比如，能否把这个节点里存放的 KEY 增加？能否减少树的总层数？那减少纵深只能从横向来想办法，这时候可以考虑用多叉树。

平衡二叉树

1、基础知识

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）又被称为AVL树（有别于AVL算法），且具有以下性质：
1.它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。
2.其高度一般都良好地维持在O（log2n），大大降低了操作的时间复杂度。
3.平衡二叉树的常用算法有红黑树、AVL、Treap等。 
4.最小二叉平衡树的节点的公式如下 F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1 这个类似于一个递归的数列，可以参考Fibonacci数列，1是根节点，F(n-1)是左子树的节点数量，F(n-2)是右子树的节点数量。

 2、常用算法

红黑树

红黑树是一种自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构，典型的用途是实现关联数组。它是在1972年由Rudolf Bayer发明的，他称之为"对称二叉B树"，它现代的名字是在 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 于1978年写的一篇论文中获得的。它是复杂的，但它的操作有着良好的最坏情况运行时间，并且在实践中是高效的: 它可以在O(log n)时间内做查找，插入和删除，这里的n是树中元素的数目。

AVL

AVL是最先发明的自平衡二叉查找树算法。在AVL中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树，n个结点的AVL树最大深度约1.44log2n。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O（log n）。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。

Treap

Treap是一棵二叉排序树，它的左子树和右子树分别是一个Treap，和一般的二叉排序树不同的是，Treap纪录一个额外的数据，就是优先级。Treap在以关键码构成二叉排序树的同时，还满足堆的性质(在这里我们假设节点的优先级大于该节点的孩子的优先级)。但是这里要注意的是Treap和二叉堆有一点不同，就是二叉堆必须是完全二叉树，而Treap并不一定是。

伸展树

伸展树（Splay Tree）是一种二叉排序树，它能在O(log n)内完成插入、查找和删除操作。它由Daniel Sleator和Robert Tarjan创造。它的优势在于不需要记录用于平衡树的冗余信息。在伸展树上的一般操作都基于伸展操作。

SBT

Size Balanced Tree（简称SBT）是一自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构。它是由中国广东中山纪念中学的陈启峰发明的。陈启峰于2006年底完成论文《Size Balanced Tree》，并在2007年的全国青少年信息学奥林匹克竞赛冬令营中发表。由于SBT的拼写很容易找到中文谐音，它常被中国的信息学竞赛选手和ACM/ICPC选手们戏称为“傻B树”、“Super BT”等。相比红黑树、AVL树等自平衡二叉查找树，SBT更易于实现。据陈启峰在论文中称，SBT是“目前为止速度最快的高级二叉搜索树”。SBT能在O(log n)的时间内完成所有二叉搜索树（BST）的相关操作，而与普通二叉搜索树相比，SBT仅仅加入了简洁的核心操作Maintain。由于SBT赖以保持平衡的是size域而不是其他“无用”的域，它可以很方便地实现动态顺序统计中的select和rank操作。

3、相关操作代码

package com.changwen.javabase.DataStructure.Tree;

import java.util.Iterator;
import java.util.NoSuchElementException;
/**
* 平衡二叉树
* 定义:首先它是一种特殊的二叉排序树，其次它的左子树和右子树都是平衡二叉树，
* 且左子树和右子树的深度之差不超过1
* 平衡因子:可以定义为左子树的深度减去右子树的深度
*
* 平衡二叉树是对二叉排序树的优化，防止二叉排序树在最坏情况下平均查找时间为n，
* 二叉排序树在此时形如一个单链表
* 平衡二叉树查找元素的次数不超过树的深度，时间复杂度为logN
*/
public class AVLTree<E> {
/**
* 根节点
*/
private Node<E> root = null;

/**
* 树中元素个数
*/
private int size = 0;

public AVLTree(){

}

public int size(){
return size;
}


/**
* @param p 最小旋转子树的根节点
* 向左旋转之后p移到p的左子树处，p的右子树B变为此最小子树根节点，
* B的左子树变为p的右子树
* 比如： A(-2) B(1)
* \ 左旋转 / \
* B(0) ----> A(0) \
* / \ \ \
* BL(0) BR(0) BL(0) BR(0)
* 旋转之后树的深度之差不超过1
*/
private void rotateLeft(Node<E> p) {
System.out.println("绕"+p.element+"左旋");
if(p!=null){
Node<E> r = p.right;
p.right = r.left; //把p右子树的左节点嫁接到p的右节点，如上图，把BL作为A的右子节点
if (r.left != null) //如果B的左节点BL不为空，把BL的父节点设为A
r.left.parent = p;
r.parent = p.parent; //A的父节点设为B的父节点
if (p.parent == null) //如果p是根节点
root = r; //r变为父节点，即B为父节点
else if (p.parent.left == p) //如果p是左子节点
p.parent.left = r; //p的父节点的左子树为r
else //如果p是右子节点
p.parent.right = r; //p的父节点的右子树为r
r.left = p; //p变为r的左子树，即A为B的左子树
p.parent = r; //同时更改p的父节点为r，即A的父节点为B
}
}

/**
* @param p 最小旋转子树的根节点
* 向右旋转之后，p移到p的右子节点处，p的左子树B变为最小旋转子树的根节点
* B的右子节点变为p的左节点、
* 例如: A(2) B(-1)
* / 右旋转 / \
* B(0) ------> / A(0)
* / \ / /
* BL(0) BR(0) BL(0) BR(0)
*/
private void rotateRight(Node<E> p){
System.out.println("绕"+p.element+"右旋");
if(p!=null){
Node<E> l = p.left;
p.left = l.right; //把B的右节点BR作为A的左节点
if (l.right != null) //如果BR不为null，设置BR的父节点为A
l.right.parent = p;
l.parent = p.parent; //A的父节点赋给B的父节点
if (p.parent == null) //如果p是根节点
root = l; //B为根节点
else if (p.parent.right == p) //如果A是其父节点的左子节点
p.parent.right = l; //B为A的父节点的左子树
else //如果A是其父节点的右子节点
p.parent.left = l; //B为A的父节点的右子树
l.right = p; //A为B的右子树
p.parent = l; //设置A的父节点为B
}
}


/**
* 平衡而二叉树的插入操作
* 基本原理为：
* 1.首先如同二叉排序树一般，找到其要插入的节点的位置，并把元素插入其中；
* 2.自下向上进行回溯，回溯做两个事情：
* (1)其一是修改祖先节点的平衡因子，当插入 一个节点时只有根节点到插入节点
* 的路径中的节点的平衡因子会被改变，而且改变的原则是当插入节点在某节点(称为A)
* 的左子树 中时，A的平衡因子(称为BF)为BF+1,当插入节点在A的右子树中时A的BF-1，
* 而判断插入节点在左子树中还是右子树中只要简单的比较它与A的大小
* (2)在改变祖先节点的平衡因子的同时，找到最近一个平衡因子大于2或小于-2的节点，
* 从这个节点开始调整最小不平衡树进行旋转调整，关于如何调整见下文。
* 由于调整后，最小不平衡子树的高度与插入节点前的高度相同，故不需继续要调整祖先节点。
* 这里还有一个特殊情况，如果调整BF时，发现某个节点的BF变为0了，则停止向上继续调整，
* 因为这表明此节点中高度小的子树增加了新节点，高度不变，那么祖先节点的BF自然不变。
*/
public boolean add(E element){
Node<E> t = root;
if(t == null){
root = new Node<E>(element,null);
size = 1;
return true;
}
int cmp;
Node<E> parent; //保存t的父节点
Comparable<? super E> e = (Comparable<? super E>) element;
//从根节点向下搜索，找到插入位置
do {
parent = t;
cmp = e.compareTo(t.element);
if(cmp < 0){
t = t.left;
}else if(cmp > 0){
t = t.right;
}else{
return false;
}
} while (t!=null);

Node<E> child = new Node(element,parent);
if(cmp < 0){
parent.left = child;

}else{
parent.right = child;
}
//自下向上回溯，查找最近不平衡节点
while(parent!=null){
cmp = e.compareTo(parent.element);
if(cmp < 0){ //插入节点在parent的左子树中
parent.balance++;
}else{ //插入节点在parent的右子树中
parent.balance--;
}
if(parent.balance == 0){ //此节点的balance为0，不再向上调整BF值，且不需要旋转
break;
}
if(Math.abs(parent.balance) == 2){ //找到最小不平衡子树根节点
fixAfterInsertion(parent);
break; //不用继续向上回溯
}
parent = parent.parent;
}
size ++;
return true;
}

/**
* 调整的方法：
* 1.当最小不平衡子树的根(以下简称R)为2时，即左子树高于右子树：
* 如果R的左子树的根节点的BF为1时，做右旋；
* 如果R的左子树的根节点的BF为-1时，先左旋然后再右旋
*
* 2.R为-2时，即右子树高于左子树：
* 如果R的右子树的根节点的BF为1时，先右旋后左旋
* 如果R的右子树的根节点的BF为-1时，做左旋
*
* 至于调整之后，各节点的BF变化见代码
*/
private void fixAfterInsertion(Node<E> p){
if(p.balance == 2){
leftBalance(p);
}
if(p.balance == -2){
rightBalance(p);
}
}


/**
* 做左平衡处理
* 平衡因子的调整如图：
* t rd
* / \ / \
* l tr 左旋后右旋 l t
* / \ -------> / \ / \
* ll rd ll rdl rdr tr
* / \
* rdl rdr
*
* 情况2(rd的BF为0)
*
*
* t rd
* / \ / \
* l tr 左旋后右旋 l t
* / \ -------> / \ \
* ll rd ll rdl tr
* /
* rdl
*
* 情况1(rd的BF为1)
*
*
* t rd
* / \ / \
* l tr 左旋后右旋 l t
* / \ -------> / / \
* ll rd ll rdr tr
* \
* rdr
*
* 情况3(rd的BF为-1)
*
*
* t l
* / 右旋处理 / \
* l ------> ll t
* / \ /
* ll rd rd
* 情况4(L等高)
*/
private boolean leftBalance(Node<E> t){
boolean heightLower = true;
Node<E> l = t.left;
switch (l.balance) {
case LH: //左高，右旋调整,旋转后树的高度减小
t.balance = l.balance = EH;
rotateRight(t);
break;
case RH: //右高，分情况调整
Node<E> rd = l.right;
switch (rd.balance) { //调整各个节点的BF
case LH: //情况1
t.balance = RH;
l.balance = EH;
break;
case EH: //情况2
t.balance = l.balance = EH;
break;
case RH: //情况3
t.balance = EH;
l.balance = LH;
break;
}
rd.balance = EH;
rotateLeft(t.left);
rotateRight(t);
break;
case EH: //特殊情况4,这种情况在添加时不可能出现，只在移除时可能出现，旋转之后整体树高不变
l.balance = RH;
t.balance = LH;
rotateRight(t);
heightLower = false;
break;
}
return heightLower;
}

/**
* 做右平衡处理
* 平衡因子的调整如图：
* t ld
* / \ / \
* tl r 先右旋再左旋 t r
* / \ --------> / \ / \
* ld rr tl ldl ldr rr
* / \
* ldl ldr
* 情况2(ld的BF为0)
*
* t ld
* / \ / \
* tl r 先右旋再左旋 t r
* / \ --------> / \ \
* ld rr tl ldl rr
* /
* ldl
* 情况1(ld的BF为1)
*
* t ld
* / \ / \
* tl r 先右旋再左旋 t r
* / \ --------> / / \
* ld rr tl ldr rr
* \
* ldr
* 情况3(ld的BF为-1)
*
* t r
* \ 左旋 / \
* r -------> t rr
* / \ \
* ld rr ld
* 情况4(r的BF为0)
*/
private boolean rightBalance(Node<E> t){
boolean heightLower = true;
Node<E> r = t.right;
switch (r.balance) {
case LH: //左高，分情况调整
Node<E> ld = r.left;
switch (ld.balance) { //调整各个节点的BF
case LH: //情况1
t.balance = EH;
r.balance = RH;
break;
case EH: //情况2
t.balance = r.balance = EH;
break;
case RH: //情况3
t.balance = LH;
r.balance = EH;
break;
}
ld.balance = EH;
rotateRight(t.right);
rotateLeft(t);
break;
case RH: //右高，左旋调整
t.balance = r.balance = EH;
rotateLeft(t);
break;
case EH: //特殊情况4
r.balance = LH;
t.balance = RH;
rotateLeft(t);
heightLower = false;
break;
}
return heightLower;
}

/**
* 查找指定元素，如果找到返回其Node对象，否则返回null
*/
private Node<E> getNode(Object element) {
Node<E> tmp = root;
Comparable<? super E> e = (Comparable<? super E>) element;
int c;
while (tmp != null) {
c = e.compareTo(tmp.element);
if (c == 0) {
return tmp;
} else if (c < 0) {
tmp = tmp.left;
} else {
tmp = tmp.right;
}
}
return null;
}

/**
* 平衡二叉树的移除元素操作
*
*/
public boolean remove(Object o){
Node<E> e = getNode(o);
if(e!=null){
deleteNode(e);
return true;
}
return false;
}

private void deleteNode(Node<E> p){
size --;
//如果p左右子树都不为空，找到其直接后继，替换p，之后p指向s，删除p其实是删除s
//所有的删除左右子树不为空的节点都可以调整为删除左右子树有其一不为空，或都为空的情况。
if (p.left != null && p.right != null) {
Node<E> s = successor(p);
p.element = s.element;
p = s;
}
Node<E> replacement = (p.left != null ? p.left : p.right);

if (replacement != null) { //如果其左右子树有其一不为空
replacement.parent = p.parent;
if (p.parent == null) //如果p为root节点
root = replacement;
else if (p == p.parent.left) //如果p是左孩子
p.parent.left = replacement;
else //如果p是右孩子
p.parent.right = replacement;

p.left = p.right = p.parent = null; //p的指针清空

//这里更改了replacement的父节点，所以可以直接从它开始向上回溯
fixAfterDeletion(replacement);

} else if (p.parent == null) { // 如果全树只有一个节点
root = null;
} else { //左右子树都为空
fixAfterDeletion(p); //这里从p开始回溯
if (p.parent != null) {
if (p == p.parent.left)
p.parent.left = null;
else if (p == p.parent.right)
p.parent.right = null;
p.parent = null;
}
}
}

/**
* 返回以中序遍历方式遍历树时，t的直接后继
*/
static <E> Node<E> successor(Node<E> t) {
if (t == null)
return null;
else if (t.right != null) { //往右，然后向左直到尽头
Node<E> p = t.right;
while (p.left != null)
p = p.left;
return p;
} else { //right为空，如果t是p的左子树，则p为t的直接后继
Node<E> p = t.parent;
Node<E> ch = t;
while (p != null && ch == p.right) { //如果t是p的右子树，则继续向上搜索其直接后继
ch = p;
p = p.parent;
}
return p;
}
}

/**
* 删除某节点p后的调整方法：
* 1.从p开始向上回溯，修改祖先的BF值，这里只要调整从p的父节点到根节点的BF值，
* 调整原则为，当p位于某祖先节点(简称A)的左子树中时，A的BF减1，当p位于A的
* 右子树中时A的BF加1。当某个祖先节点BF变为1或-1时停止回溯，这里与插入是相反的，
* 因为原本这个节点是平衡的，删除它的子树的某个节点并不会改变它的高度
*
* 2.检查每个节点的BF值，如果为2或-2需要进行旋转调整，调整方法如下文，
* 如果调整之后这个最小子树的高度降低了，那么必须继续从这个最小子树的根节点(假设为B)继续
* 向上回溯，这里和插入不一样，因为B的父节点的平衡性因为其子树B的高度的改变而发生了改变，
* 那么就可能需要调整，所以删除可能进行多次的调整。
*
*/
private void fixAfterDeletion(Node<E> p){
boolean heightLower = true; //看最小子树调整后，它的高度是否发生变化，如果减小，继续回溯
Node<E> t = p.parent;
Comparable<? super E> e = (Comparable<? super E>)p.element;
int cmp;
//自下向上回溯，查找不平衡的节点进行调整
while(t!=null && heightLower){
cmp = e.compareTo(t.element);
/**
* 删除的节点是右子树，等于的话，必然是删除的某个节点的左右子树不为空的情况
* 例如： 10
* / \
* 5 15
* / \
* 3 6
* 这里删除5，是把6的值赋给5，然后删除6，这里6是p，p的父节点的值也是6。
* 而这也是右子树的一种
*/
if(cmp >= 0 ){
t.balance ++;
}else{
t.balance --;
}
if(Math.abs(t.balance) == 1){ //父节点经过调整平衡因子后，如果为1或-1，说明调整之前是0，停止回溯。
break;
}
Node<E> r = t;
//这里的调整跟插入一样
if(t.balance == 2){
heightLower = leftBalance(r);
}else if(t.balance==-2){
heightLower = rightBalance(r);
}
t = t.parent;
}
}

private static final int LH = 1; //左高
private static final int EH = 0; //等高
private static final int RH = -1; //右高

/**
* 树节点，为方便起见不写get，Set方法
*/
static class Node<E>{
E element;
Node<E> parent;
Node<E> left;
Node<E> right;
int balance = EH; //平衡因子，只能为1或0或-1

public Node(){}

public Node(E element,Node<E> parent){
this.element = element;
this.parent = parent;
}
}

//返回中序遍历此树的迭代器,返回的是一个有序列表
private class BinarySortIterator implements Iterator<E>{
Node<E> next;
Node<E> lastReturned;

public BinarySortIterator(){
Node<E> s = root;
if(s !=null){
while(s.left != null){ //找到中序遍历的第一个元素
s = s.left;
}
}
next = s; //赋给next
}

@Override
public boolean hasNext() {
return next!=null;
}

@Override
public E next() {
Node<E> e = next;
if (e == null)
throw new NoSuchElementException();
next = successor(e);
lastReturned = e;
return e.element;
}

@Override
public void remove() {
if (lastReturned == null)
throw new IllegalStateException();
// deleted entries are replaced by their successors
if (lastReturned.left != null && lastReturned.right != null)
next = lastReturned;
deleteNode(lastReturned);
lastReturned = null;
}
}

public Iterator<E> itrator(){
return new BinarySortIterator();
}

private int treeHeight(Node<E> p){
if(p == null){
return -1;
}
return 1 + Math.max(treeHeight(p.left), treeHeight(p.right));
}

//测试，你也可以任意测试
public static void main(String[] args) {
AVLTree<Integer> tree = new AVLTree<Integer>();
System.out.println("------添加------");
tree.add(50);
System.out.print(50+" ");
tree.add(66);
System.out.print(66+" ");
for(int i=0;i<10;i++){
int ran = (int)(Math.random() * 100);
System.out.print(ran+" ");
tree.add(ran);
}
System.out.println("------删除------");
tree.remove(50);
tree.remove(66);

System.out.println();
Iterator<Integer> it = tree.itrator();
while(it.hasNext()){
System.out.print(it.next()+" ");
}
}
}