斐波那契数列是啥?有啥性质?有没有与之相似的数列?

Posted 2023-04-09

从ezoom提供的链接知道还有广义的斐氏数列,如初来诈盗所举之例,还有著名的鲁卡斯数列,且有与斐氏数列相似的性质,但如果使前两个数之差等于后一个数,同样可以得到一个性质类似的数列,于是我们可以设想,从任意两数开始,向右递减,向左递加,得到一个两端无穷的数列,请问,如此构成的数列,在什么情况下在对所有数取绝对值后,可以找到一个对称中心?

罗博深小学数学思维课《神奇数列》

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资源目录：
03 罗博深小学数学思维课《神奇数列》
课时9：帕斯卡三角的神奇巧合.mp4
课时8：Choose a team 选择一支队伍／排列组合与帕斯卡三角.mp4
课时7：Pascal Triangle  初识帕斯卡三角.mp4
课时6：1x1+1x1+2x2+3x3+5x5+8x8 斐波那契螺旋.mp4
课时5：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55 斐波那契数列之和.mp4
课时4：斐波那契蜜蜂（从简单寻找规律）.mp4
课时3：5x5+8x8 连续斐波那契数的平方求和.mp4
课时2：最美的分数（初识斐波那契数列）.mp4
课时1：课程介绍.mp4
课时16：黄金比例长方形与斐波那契螺旋.mp4
课时15：神奇的√5.mp4
课时14：帕斯卡三角的倾斜数组和与斐波那契数.mp4
课时13：帕斯卡三角斜线数组和与两种证明.mp4
课时12：排列组合，斐波那契蜂巢与帕斯卡三角.mp4

参考技术A 斐波那契数列：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……
从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密切的联系。
　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏大自然的造化。
　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。
　　具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。 参考技术B 菲波那契数列指的是这样一个数列：
1，1，2，3，5，8，13，21……
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和
它的通项公式为：[（1＋√5）/2]^n /√5 － [（1－√5）/2]^n /√5 【√5表示根号5】
很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。

该数列有很多奇妙的属性
比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……

还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了菲波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到

如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值本回答被提问者采纳 参考技术C 1.在数学上，斐波那契数列是以递归的方法来定义：
* F0 = 0
* F1 = 1
* Fn = Fn - 1 + Fn - 2
用文字来说，就是斐波那契数列由0和1开始，之后的斐波那契数就由之前的两数相加.

2．递推公式与斐波那契（Fibonacci）数列

例 有一个人把一对（雌雄各一）的大兔子放在自家的院子里饲养，他想知道一年后能生出多少对兔子，假定这对大兔子每月可生雌雄各一的一对小兔子，而新生的一对小兔子经过一个月可以长成大兔子，以后也是每月产雌雄各一的一对小兔子。问：一年后（也就是到第13个月开始）能生出多少对兔子？

解 由题设知，第一个月有一对兔子，第二个月开始时有两对兔子（大、小兔子各一对），第三个月开始，新出生的小兔子刚长成大兔子还不能产仔，只有原来的一对大兔子产仔一对，共有2+1=3对兔子，它是第一、第二两个月兔子对数的总和。

第四个月开始时，除第三个月出生的一对兔子不产仔外，其余的两对兔子都能产仔，共产小兔子2对，与第二个月兔子的对数相同，因此共有2+3=5对，它等于第二、第三两个月兔子对数的总和。

一般地，可这样考虑：我们用f(n)表示第n个月初兔子的对数。因为第n个月开始时，除第n-1个月新生的兔子不能产仔外，其余的兔子，即在第n-2个月时已有的兔子都能产仔，而第n-2个月共有兔子数为f(n-2)对，故第n个月新生的小兔子共有f(n-2)。

又因为第n个月的兔子是由两部分组成，一部分是在第n-1个月时已有的兔子，共f(n-1)对；另一部分是第n个月新生的小兔子，有f(n-2)对。因此，第n个月共有：

f(n)= f(n-1)+ f(n-2) ①

公式①给出了连续多年兔子数之间的关系，我们称公式①为递推公式。

我们已经知道：f(1)=1 ,f(2)=2,当n≥3时，利用公式①可以计算出f(n)的值如下：

f(3)=1+2=3 f(4)=3+2=5

f(5)=5+3=8 f(6)=8+5=13

f(7)=13+8=21 f(8)=21+13=34

f(9)=34+21=55 f(10)=55+34=89

f(11)=89+55=144 f(12)=144+89=233

f(13)=233+144=377

解得：一年后（即第13个月）有兔子377对。

若规定f(0)=1，f(1) =1，由递推公式①可得到数列

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…

数学界把这个数列叫做斐波那契数列，以纪念最先得到这个数列的数学家[斐波那契（Leonardo Fibonacci）,(约1170~1250)，是意大利数学家。

3.斐波那契数列性质参考
http://www.baidu.com/s?ct=0&ie=gb2312&bs=%EC%B3%B2%A8%C4%C7%C6%F5%CA%FD%C1%D0+%D0%D4%D6%CA&sr=&z=&wd=%EC%B3%CA%CF%CA%FD%C1%D0+%D0%D4%D6%CA&cl=3&f=8 参考技术D 耐人寻味的斐波那契数列
湖南省浏阳市第十中学（410317） 徐树成
斐波那契（Leonardo Fibonacci，约1170——1250年）是意大利数学家，中世纪最有才华的数学家，生于比萨，早年跟随经商的父亲到北非的布日伊（今阿尔及利亚东部的小港口贝贾亚），在那里受教育。以后走遍了埃及、希腊、叙利亚、印度、法国等国家。1202年编成《算经》（或称《算盘书》），这本书的出版使他成为一个闻名欧洲的数学家，他的书保存下来的共有5种。
《算经》中记载着一个“兔子问题”，题目是：假定一对大兔子每一个月可以生一对小兔子，而小兔子出生后两个月就有生殖能力，问从一对大兔子开始，一年后能繁殖成多少对兔子？（假定一年内没有发生死亡现象）。
用图表示为：
一月 成

二月 成 未

三月 成 未 成

四月 成 未 成 未 成

五月　成 未 成 未 成 成 未 成
……
易发现其规律：从第3月起，每月的兔子对数是前面两个月兔子对数之和，故1年内繁殖成233对兔子。
于是，斐波那契得到一个数列：1，2，3，5，8，13，21，……，人们为纪念他的发现，在这个数列前面增加一项“1”后得到：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，称之为“斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。

斐波那契数列通项公式是啥?

斐波那契数列通项公式如下：

斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34。

在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

相关作者：

斐波那契数列的定义者，是意大利数学家莱昂纳多·斐波那契，生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的莱昂纳多”。1202年，他撰写了《算盘全书》一书。

他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点于阿尔及利亚地区，莱昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。另外斐波纳契还在计算机C语言程序题中应用广泛。

参考技术A 回答

这个数列是由13世纪意大利斐波那契提出的的,故叫斐波那契数列。该数列由下面的递推关系决定：F0=0,F1=1Fn+2=Fn + Fn+1(n>=0)它的通项公式是 Fn=1/根号5[(1+根号5)/2]的n次方-[(1-根号5)/2]的n次方(n属于正整数)