中国剩余定理推广到 模数不是两两互素之后，在有解的情况下 怎样求解？求高手指点，说的详细点。谢谢！

Posted 2023-03-25

比如：有一数 模6余4，模8余2，模9余7，求该数

参考技术A 求所有模数的最小公倍数
中国剩余定理中 模不一定互素的情形 只好两两合并

中国剩余定理

2016.1.26

 

由于比较懒，于是先copy百度一发

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用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。

中国剩余定理说明：假设整数m₁,m₂, ... ,m_n两两互质，则对任意的整数：a₁,a₂, ... ,a_n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

设是整数m₁,m₂, ... ,m_n的乘积，并设是除了m_i以外的n- 1个整数的乘积。

设为模的数论倒数 ：

方程组的通解形式为

在模的意义下，方程组只有一个解：

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设来设去一大堆容易把人搞晕了，但是如果先看最后的式子就好理解了。

显然除了a_it_iM_i这一项外，其余项模m_i都得0，又因为t_i是M_i的逆元，所以x mod mi=ai

于是就都符合我们求的一元同余线性方程组啦~

 

例题：解一元同余方程组