POJ2891 Strange Way to Express Integers 不互质中国剩余定理

Posted 2022-11-26 legend_PawN

POJ2891

题意是求同余方程组的最小正整数解，首先肯定想到用中国剩余定理，但题目中并没有限制模数m[i]两两互质，就不能直接用中国剩余定理，需要注意两个问题:
1.同余方程式是否有解:对任意两个同余方程:

$$\\begincases x\\equiv b[i] \\ \\ \\ \\ (mod \\ m[i] ) \\\\ x\\equiv b[j] \\ \\ \\ \\ (mod \\ m[j] ) \\endcases$$
如果gcd $(m[i],m[j])$能够整除 $(b[j]-b[i])$，该方程组有解，否则无解
2.怎样这样的同余方程式，这里采用的是合并同余方程式的方法,依次为例：
$$\\begincases x\\equiv 2 \\ \\ \\ \\ (mod \\ 16 ) \\\\ x\\equiv 6 \\ \\ \\ \\ (mod \\ 12 ) \\endcases$$
相当于
$$\\begincases x=16p+2 \\\\ x=12q+6 \\endcases\\Rightarrow\\begincases 3x=48p+6 \\\\ 4x=48q+24 \\endcases$$
能够得到:
$$x=48(p-q)+18\\Rightarrow x\\equiv 18 \\ \\ \\ (mod \\ 48 )$$
从而，我们能够得到一般的合并方程式的方法:
$$\\begincases x\\equiv b[i] \\ \\ \\ \\ (mod \\ m[i] ) \\\\ x\\equiv b[j] \\ \\ \\ \\ (mod \\ m[j] ) \\endcases\\Rightarrow x\\equiv b \\ \\ \\ \\ (mod \\ m )$$
$$lcm=[m[i],m[j]] \\\\ t[i]=\\fraclcmm[i] \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ t[j]=\\frac lcmm[j]\\\\ \\Rightarrow m=lcm \\\\ \\Rightarrow b=|\\ b[i]t[i]-b[j]t[j]|$$
这样就顺利完成了同余方程的合并
下面给出不互质CRT的AC代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll Mod;
ll gcd(ll a, ll b)
    return b==0 ? a : gcd(b,a%b);

ll ex_gcd(ll a,ll b,ll&x,ll& y)
    if(a==0 &&b==0)
        return -1;
    if(b==0)
        x=1;y=0;return a;
    
    ll d=ex_gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;

ll inv(ll a, ll n)

    ll x,y;
    ll t=ex_gcd(a,n,x,y);
    if(t!=1)
        return -1;
    return (x%n+n)%n;

bool merge(ll b1, ll m1, ll b2, ll m2, ll& b3, ll& m3) //将两个同余方程x=b1(mod m1),x=b2(mod m2)合并成一个同余方程x=b3(mod m3)

    ll d=gcd(m1,m2);
    ll c=b2-b1;
    if(c%d)
        return false;
    c=(c%m2+m2)%m2;
    c/=d;m1/=d;m2/=d;
    c*=inv(m1,m2);
    c%=m2;
    c*=m1*d;
    c+=b1;
    m3=m1*m2*d;
    b3=(c%m3+m3)%m3;
    //cout<<a3<<" "<<n3<<endl;
    return true;

//求模线性方程组x=ai(mod ni),ni可以不互质
ll China_Reminder2(int len,ll b[],ll m[])

    ll b1=b[0],m1=m[0];
    ll b2,m2;
    for(int i=1;i<len;i++)
        ll bb,mm;
        b2=b[i],m2=m[i];
        if(!merge(b1,m1,b2,m2,bb,mm))
            return -1;
        b1=bb;
        m1=mm;
    
    Mod=m1;
    return (b1%m1+m1)%m1;

ll b[1000],m[1000];
int main()
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    int k;
    while(scanf("%d",&k)!=EOF)
    
        for(int i=0;i<k;i++)
            scanf("%lld %lld",&m[i],&b[i]);
    printf("%lld\\n",China_Reminder2(k,b,m));
    
    return 0;