埃拉托色尼筛法及线性筛法

Posted 2023-03-02

1.埃拉托色尼筛法

时间复杂度 O(nlogn)

希腊学者埃拉托色尼（公元前275-公元前193，第一个算出地球周长的人）提出的质数筛选法充分利用了质数的特性，非常好理解。

基本原理：任意整数 x 的倍数 2x，3x，... 等都不是质数 。

例：找出1-50内所有的质数

第一步：2为质数，标记4，6，8，10……50为合数

第二步：3为质数，标记6，9，12，15……48为合数

第三步：4已被标记为合数，标记8，12，16……48为合数

第四步：5为质数，标记10，15，20……50为合数

（从小到大执行到某个数时，若它未被标记，它即为质数）

……

不断进行下去，我们就可以标记出1-50所有的质数和合数。十分简单，所以我不提供代码实现。

2.线性筛法

时间复杂度 O(logn)

在上面的方法我们发现，有很多重复标记的现象。例如12既会被2又会被3标记，根本原因是没有找到唯一产生12的方式。

基本原理：每个合数必为它的最小质因子和一个最大因数（除它本身）的乘积。（质数的最小质因子为它本身，最大因数（除它本身）为1）

我们用这个最大因数（除它本身）把合数筛掉，避免重复。

也是从2开始筛选，每一步，将当前数与已经找出来的质数中小于等于它的最小质因子的相乘，把乘积作为合数筛掉。

例：找出1-50内所有的质数

第一步：2为质数，标记4为合数

第二步：3为质数，标记6为合数

第三步：4为合数，标记8为合数

第四步：5为质数，标记10，15为合数

（从小到大执行到某个数时，若它未被标记，它即为质数）

……

以下是线性筛法找质数的函数代码实现：

int prime[MAXN],ct=0; //存储找到的质数 
int v[MAXN];         //记录0~MAXN是否为质数 
 
void fprime(int b) //线性筛法找质数 

    for(int i=2;i<=b;i++)  //找到2到b内的所有质数 
    
    if(v[i]==0)  //v[i]没被筛过，v[i]为质数
    prime[++ct]=i;  //储存第cnt个质数
    for(int j=1;j<=ct;j++) //遍历小于i的所有质数 
    
        if(i*prime[j]>b) break; //无需判断比b大的数是质数还是偶数
        v[i*prime[j]] = 1;  //标记不为质数的数 
        if(i%prime[j]==0) break;  //当遇到最小的质数是i的因数时，break