计算给定递归函数的精确运行时间（时间复杂度）

Posted 2023-02-19

【中文标题】计算给定递归函数的精确运行时间（时间复杂度）

【英文标题】：Calculate exact runtime (time complexity) given recursive functions

【发布时间】：2022-01-08 03:26:46

【问题描述】：

考虑这个计算double x的幂的代码：

public static double F1 (double x, int k)
    if (k==1)  return x;  // O(1)
    return x * F1(x, k-1);  // O(k)

我的结论是

if (k==1) return x; 中的操作数：2 个操作，if-statement 和 return-statement。因此，T(1) = 2

return x * F1(x, k-1); 中的操作数：4 次操作，return-statement = 1，*-operator = 1，F1(x, k-1); = 2。所以等式的第一部分 = 4

我们在x * F1(x, k-1), 中有一个递归调用，所以x = 1。

我们在每个递归调用中将问题减少 1，因此 y = k-1。所以方程的第二部分 = T(k-1)

将所有这些放在一起，我们得到：

4 + T(k-1), T(1) = 2

但是我如何从这里开始找到确切的运行时？

我试图查看this 问题的解释，但它侧重于如何计算 Big-O 表示法，而不是精确时间复杂度。如何继续找到确切的时间复杂度？

这里的答案应该是：

Exact: 4k-2 
Tilde: 4k 
Big-O: O(k)

但我不知道他们做了什么。

【问题讨论】：

我不知道你所说的“波浪号”是什么意思。你能提供解释的引文吗？ （请注意，不管它是什么意思，它与[tilde]逻辑标签的主题无关......所以我把它删除了。）

【参考方案1】：

对于您执行的第一个k-1 步骤：

比较k==1 减法k-1 产品x * ... return 指令

在您执行的最后一步中：

比较k==1 return 指令

所以你有4*(k-1)+2 = 4k-2 的总体说明。

编辑：正如@rzwitserloot 正确指出的那样，您搜索的数量不是很重要，但这取决于代码的编译和执行方式。上面我只是想弄清楚你的老师所说的“精确时间复杂度”是什么意思。

【讨论】：

在字节码级别，这些数学都没有结果。即使您尝试计算字节码步数，每条字节码指令的执行时间也会非常变化。整个分析完全没有意义。

【参考方案2】：

但是我如何从这里开始找到确切的运行时？

您将迄今为止所做的所有事情都扔进垃圾箱，然后启动 JMH，稍后再查看更多信息。

完全不可能根据这样的学术分析来确定确切的运行时间。确切的运行时间取决于您的音乐播放器中正在播放的歌曲、您的操作系统是否忙于进行磁盘清理、向网络时间服务器发送 ping、哪些页面碰巧在片上缓存上、您的代码的 CPU 核心最终被运行，以及月相。

让我尽可能清楚地说：像4k - 2 这样的东西完全不相关且被误导 - 这不是计算机的工作方式。您不能说具有“精确运行时间”4k - 2 的算法会比6k + 2 算法更快。它同样可能更慢：它的预测能力为零。这是一个完全没有意义的“计算”。这不代表任何意思。 big-O 表示法存在是有原因的：这确实意味着无论硬件是否变幻莫测：给定 2 种算法，其中一种算法比另一种具有“更好”的 big-O 表示法，那么存在一些输入大小使得更好的算法将是更快，不管硬件问题。这可能是一个非常大的数字，而 big-O 不会告诉您发生这种情况的数字是多少。

big-O 表示法的意义在于，它以数学上的确定性规定了如果您更改算法输入的大小，最终会发生什么，非常宽泛。这就是为什么在显示大 O 表示法时要删除所有常量和除最大因子之外的所有内容。

画一张图；在 X 轴上，有“输入大小”，即O(k) 中的“k”。在 Y 轴上，有执行时间（或者，如果您愿意，最大内存负载）。然后，弥补一些输入大小并运行您的算法几次。平均结果，并在该图上放置一个点。例如，如果您在 k=5 的输入上运行算法，平均需要 27 毫秒，请在 x=5, y=27 上放置一个点。

继续。很多点。最终这些点形成了一个图形。该图将在 x=0 点附近遍布整个地方。就好像一个喜欢随机性的醉汉正在向棋盘扔飞镖一样。

但是，最终（当“最终”出现时无法确定，因为这又取决于很多操作系统的东西，不要费心去预测这些东西），它会开始看起来像一个可识别的形状。我们用简单的公式定义这些形状。例如，如果它最终（足够靠右）合并成看起来像绘制y=x^2 所得到的东西，那么我们称之为O(x^2)。

现在，y=5x^2 看起来与 y=x^2 完全一样。就此而言，y=158*x^2 + 25000x + 2134931239，如果您在该曲线上向右看足够远，看起来与y=x^2 完全一样。因此，为什么O(158x^2+20x) 完全没有抓住重点，因此是不正确的。 O 的意义只是告诉你它“向右足够远”会是什么样子。

这给我们留下了正好 2 个有用的性能指标：

O(k) 符号。您在此处正确确定：此算法具有 O(k) 运行时。

时间报告。 没有意义试图通过查看代码来解决这个问题，您需要运行代码。反复地，周围有各种保护措施，以确保热点优化不会完全消除您的代码，重新运行很多次以获得良好的平均值，并确保我们通过了 JVM 的 JIT 步骤。您使用 JMH 来执行此操作，并注意 JMH 的结果自然取决于您运行它的硬件，这是因为程序的性能特征可能因硬件而异。