主定理：当 f(n) 包含对数的负幂时的问题

Posted 2023-02-19

【中文标题】主定理：当 f(n) 包含对数的负幂时的问题

【英文标题】：Master theorem: issue when f(n) contains negative power of log

【发布时间】：2017-02-20 08:22:22

【问题描述】：

所以我正在使用 Master 定理计算以下函数的平均案例复杂度：

T(n) = 2T (n/2)+ n/ log n

根据http://people.csail.mit.edu/thies/6.046-web/master.pdf问题7，

它说

不适用（f(n) 和 n 之间的非多项式差异 ^{log _b a} ）

This answer 也支持pdf，说NO。

然而，this video 导师在 12:26 解决了同样的问题，他给出了答案

Θ(nloglogn) 

谁能解释一下错误以及为什么？

【参考方案1】：

他们都是对的。 PDF 中的主定理不适用，但视频中的讲师正在使用涵盖您的案例的主定理的扩展形式。

我在视频中找不到任何真正好的版本参考，也不是我学到的版本，但这里有一个在线证明：http://homepages.math.uic.edu/~leon/cs-mcs401-s08/handouts/extended_master_theorem.pdf

【讨论】：

查看了所有这些后，我想唯一的区别是负功率等于-1。如果它小于偶数 -1，它属于情况 1，因为它渐近小于 n ^ (log a base b)

【参考方案2】：

正如马特·蒂默曼斯（Matt Timmermans）正确指出的那样，该陈述并非源于主定理，而是源于其扩展版本。

直接使用tree method解决这个问题很简单。

从 T(n) = 2T (n/2)+ n / log n 开始：

0 级有 1 个节点，值为 n / log(n)。

Level 1 有 2 个节点，每个节点的值 (n / 2) / log(n / 2)。

...

级别 i 有 2ⁱ 个节点，每个节点都有值 (n / 2^{i sup>) / log(n / 2i)}

简化，级别 i 贡献了 n / (log(n) - i)。

请注意，总共有 ~log(n) - 1 个级别才能达到一个常数。

因此，所有级别的总和为∑_{i = 0}^{~log(n) - 1}[n / (log(n) - i) ] ~ n ∑_{i = 0}^k[1 / k],

对于 k = log(n).

请注意，sigma 是kth harmonic series, which is Θ(log(k))。设置 k = log(n) 总共给出 n Θ(log(log(n))) = Θ(n log(log(n)))。