为啥用 Eigen 和 OpenCV 计算的 SVD 左奇异向量具有不同的符号

Posted 2023-02-22

【中文标题】为啥用 Eigen 和 OpenCV 计算的 SVD 左奇异向量具有不同的符号

【英文标题】：Why SVD left singular vectors computed with Eigen and OpenCV have different signs为什么用 Eigen 和 OpenCV 计算的 SVD 左奇异向量具有不同的符号

【发布时间】：2015-02-15 06:04:49

【问题描述】：

我同时使用 OpenCV 和 Eigen 来计算 SVD：

Eigen:
JacobiSVD<Matrix3f> svd(myM, ComputeFullU);

OpenCV:
cvSVD(&myM, &w, &u, 0, CV_SVD_MODIFY_A | CV_SVD_U_T);

我专注于左奇异向量：

Eigen result:
 0.0341698  -0.064916   0.997306
  0.950241  -0.307051 -0.0525437
  0.309635   0.949476   0.051194

OpenCV result:
[0.03417001163639093, -0.06491612525262211, 0.9973055233913801;
  -0.9502414121501213, 0.3070511298822651, 0.05254390804810754;
  -0.3096347347112595, -0.9494764348419663, -0.05119404985032185]

尽管一个是float类型，一个是double类型，但是计算出来的左奇异向量有不同的符号。所以我的问题是：

这种符号差异真的很重要吗？ 如何使它们相同？

【参考方案1】：

不，没关系，因为对应的符号差也会出现在右奇异向量上，所以基本上

U * S * V^adjoint

会给你正确的结果。

更准确地说，来自***：

非退化奇异值总是具有唯一的左和 右奇异向量，最多乘以单位相位因子 exp(iφ)（真实案例待签）。因此，如果 M 的所有奇异 > 值都是非退化且非零的，那么它的奇异值 分解是唯一的，最多将 U 的列乘以 单位相位因子和相应的同时乘法 V的列由相同的单位相位因子。

为什么要它们相同？如果你真的想要，你可以通过将第一个分量相除得到相位，然后乘以那个相位使它们相等。

由于奇异值的排序，还可能出现额外的差异，afaik eigen 以降序对它们进行排序，不确定 opencv。

【参考方案2】：

奇异值分解不是唯一的，有多种可能的分解。实际的奇异值集合是唯一的，但是向量的左右矩阵可以有不同的符号，没有关系，因为多个组合符号可以抵消。

一个明显的例子，对于M = UΣV*，像M=(-U)Σ(-V*) = UΣV* 一样分解，但一般来说，左右奇异向量可以有不同的符号组合。

这种差异并不重要，所以我认为您不必费心尝试使它们相同。

不仅如此，奇异向量的顺序也可以变化。通常是奇异值的降序排列。