在Matlab中生成包含给定集合中至少一个元素的所有组合

Posted 2023-03-31

【中文标题】在Matlab中生成包含给定集合中至少一个元素的所有组合

【英文标题】：Generating all combinations containing at least one element of a given set in Matlab

【发布时间】：2011-04-30 04:02:50

【问题描述】：

我使用combnk 生成组合列表。如何生成始终包含特定值的组合子集。例如，对于combnk(1:10, 2)，我只需要包含 3 和/或 5 的组合。有快速的方法吗？

【问题讨论】：

如果你不太受性能限制，你可以暴力破解，即创建大量组合，然后只选择好的组合。

【参考方案1】：

好吧，在您的具体示例中，从集合 1, ..., 10 中选择两个整数，使得所选整数之一是 3 或 5 产生 9+9-1 = 17 个已知组合，因此您可以只是枚举它们。

一般来说，要从包含整数 m 的整数 1, ..., n 中找到所有 n-choose-k 组合，这与找到 (n-1)-choose-(k -1) 整数 1, ..., m-1, m+1, ..., n 的组合。

在 matlab 中是这样的

combnk([1:m-1 m+1:n], k-1)

（即使m 为 1 或 n，此代码仍然有效。）

【参考方案2】：

对于强力解决方案，您可以使用COMBNK 生成所有组合，然后使用函数ANY 和ISMEMBER 仅查找包含一个或多个数字子集的那些组合。以下是使用上述示例的方法：

v = 1:10;            %# Set of elements
vSub = [3 5];        %# Required elements (i.e. at least one must appear in the
                     %#   combinations that are generated)
c = combnk(v,2);     %# Find pairwise combinations of the numbers 1 through 10
rowIndex = any(ismember(c,vSub),2);  %# Get row indices where 3 and/or 5 appear
c = c(rowIndex,:);   %# Keep only combinations with 3 and/or 5

---

编辑：

对于更优雅的解决方案，它看起来像Steve，我也有类似的想法。但是，我已经对解决方案进行了概括，使其既适用于任意数量的必需元素，也适用于v 中的重复元素。函数 SUBCOMBNK 将查找从集合 v 中提取的所有 k 值组合，其中至少包括集合 vSub 中的一个值：

function c = subcombnk(v,vSub,k)
%#SUBCOMBNK   All combinations of the N elements in V taken K at a time and
%#   with one or more of the elements in VSUB as members.

  %# Error-checking (minimal):

  if ~all(ismember(vSub,v))
    error('The values in vSub must also be in v.');
  end

  %# Initializations:

  index = ismember(v,vSub);  %# Index of elements in v that are in vSub
  vSub = v(index);           %# Get elements in v that are in vSub
  v = v(~index);             %# Get elements in v that are not in vSub
  nSubset = numel(vSub);     %# Number of elements in vSub
  nElements = numel(v);      %# Number of elements in v
  c = [];                    %# Initialize combinations to empty

  %# Find combinations:

  for kSub = max(1,k-nElements):min(k,nSubset)
    M1 = combnk(vSub,kSub);
    if kSub == k
      c = [c; M1];
    else
      M2 = combnk(v,k-kSub);
      c = [c; kron(M1,ones(size(M2,1),1)) repmat(M2,size(M1,1),1)];
    end
  end

end

您可以针对上面的蛮力解决方案测试此函数，以查看它返回相同的输出：

cSub = subcombnk(v,vSub,2);
setxor(c,sort(cSub,2),'rows')   %# Returns an empty matrix if c and cSub
                                %#   contain exactly the same rows

我使用v = 1:15; 和vSub = [3 5]; 进一步针对蛮力解决方案测试了这个函数，N 的值范围从 2 到 15。创建的组合是相同的，但 SUBCOMBNK 明显更快，如平均运行所示时间（以毫秒为单位）显示如下：

N  | brute force | SUBCOMBNK
---+-------------+----------
2  |     1.49    |    0.98
3  |     4.91    |    1.17
4  |    17.67    |    4.67
5  |    22.35    |    8.67
6  |    30.71    |   11.71
7  |    36.80    |   14.46
8  |    35.41    |   16.69
9  |    31.85    |   16.71
10 |    25.03    |   12.56
11 |    19.62    |    9.46
12 |    16.14    |    7.30
13 |    14.32    |    4.32
14 |     0.14    |    0.59*   #This could probably be sped up by checking for
15 |     0.11    |    0.33*   #simplified cases (i.e. all elements in v used)

【参考方案3】：

只是为了改进史蒂夫的答案：在你的情况下（你想要所有与 3 和/或 5的组合）它将是

所有 k-1/n-2 组合加上 3 个添加 所有 k-1/n-2 组合，添加 5 个 添加了 3 和 5 的所有 k-2/n-2 组合

对于这种类型的任何其他情况很容易推广。