计算第一个三角形数以在 python 中有超过 500 个除数
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【中文标题】计算第一个三角形数以在 python 中有超过 500 个除数【英文标题】：Calculating the first triangle number to have over 500 divisors in python 【发布时间】：2013-03-22 00:44:11 【问题描述】：我正在尝试解决 Project Euler 的第 12 个问题。我可以在将近 4 分钟内计算出超过 500 个除数的数字。我怎样才能让它更快？这是尝试；
import time
def main():
memo=0:0,1:1
i=2
n=200
while(1):
if len(getD(getT(i)))>n:
break
i+=1
print(getT(i))
#returns the nth triangle number
def getT(n):
if not n in memo:
memo[n]=n+getT(n-1)
return memo[n]
#returns the list of the divisors
def getD(n):
divisors=[n]
for i in xrange(1,int((n/2)+1)):
if (n/float(i))%1==0:
divisors.append(i)
return divisors
startTime=time.time()
main()
print(time.time()-startTime)
【问题讨论】：
重复：***.com/questions/6964392/…、***.com/questions/571488/…、***.com/questions/171765/… 【参考方案1】：使用装饰器（由 activestate recipes 提供）保存先前计算的值，并使用列表推导生成除数：
def memodict(f):
""" Memoization decorator for a function taking a single argument """
class memodict(dict):
def __missing__(self, key):
ret = self[key] = f(key)
return ret
return memodict().__getitem__
@memodict
def trinumdiv(n):
'''Return the number of divisors of the n-th triangle number'''
numbers = range(1,n+1)
total = sum(numbers)
return len([j for j in range(1,total+1) if total % j == 0])
def main():
nums = range(100000)
for n in nums:
if trinumdiv(n) > 200:
print n
break
结果：
In [1]: %cpaste
Pasting code; enter '--' alone on the line to stop or use Ctrl-D.
:def main():
: nums = range(10000)
: for n in nums:
: if trinumdiv(n) > 100:
: print 'Found:', n
: break
:
:startTime=time.time()
:main()
:print(time.time()-startTime)
:--
Found: 384
1.34229898453
和
In [2]: %cpaste
Pasting code; enter '--' alone on the line to stop or use Ctrl-D.
:def main():
: nums = range(10000)
: for n in nums:
: if trinumdiv(n) > 200:
: print 'Found:', n
: break
:
:startTime=time.time()
:main()
:print(time.time()-startTime)
:--
Found: 2015
220.681169033
【讨论】：
【参考方案2】：您不需要数组来存储三角形数字。您可以使用单个 int，因为您只检查一个值。此外，使用三角形数公式：n*(n+1)/2 可能会有所帮助，您可以在其中找到 nth 三角形数。
getD 也只需要返回一个数字，因为您只是在寻找 500 个除数，而不是除数的值。
但是，您真正的问题在于 for 循环中的 n/2。通过检查因子对，您可以使用sqrt(n)。所以只检查不超过sqrt(n) 的值。如果您检查到n/2，您会得到大量浪费的测试（以百万计）。
所以你想做以下事情（n 是整数，以求除数，d 是可能的除数）：
n/d 没有余数。
确定是在除数上加 1 还是 2。
【讨论】：
一个细节：如你所说，如果i < sqrt，其中sqrt = Math.sqrt(n)是一个因素，那么i和n/i都是因素。但是，如果sqrt 是一个因素，那只会在总数中增加一个，因为sqrt == n/sqrt。因此，因子总数是为i, 1 <= i <= n 找到的因子数的两倍，如果n == sqrt * sqrt 则减去一个。
对不起，我不明白。例如：28 有以下除数：1,2,4,7,14,28。 28 的平方根是 5.2915026。所以，如果我数到平方根，我会错过7。
@lorussian 4 * 7 = 28。因此，如果您检查 sqrt，您会发现 7。
@Justin 请详细说明您的评论。没有更多的上下文是没有意义的。他也会错过 14 岁。
你找到14是因为你找到了2...所以在使用这种方法时你必须意识到因子的数量大约是一半。想象平方根除数在所有可能除数的中心，所以在这种情况下，它在 4 到 7 之间，【参考方案3】：
几厘米。
正如 Quincunx 所写，您只需要检查从 1..sqrt(n) 开始的整数范围，这将转化为类似 for i in xrange(1, sqrt(n) + 1): ... 的内容。仅此优化就可以大大加快速度。
您可以使用三角形数公式（我直到现在才知道，谢谢 Quincunx），或者您可以使用另一种方法来查找三角形数，而不是递归和字典查找。您只需要序列中的下一个数字，因此保存它没有意义。函数调用在 Python 中涉及大量开销，因此通常不建议将递归用于数字运算。另外，为什么要投到float，我不太明白？
我看到您已经在使用xrange 而不是range 来构建int 流。我假设您知道xrange 更快，因为它是作为生成器函数实现的。你也可以那样做。这也让事情变得更加顺利。
我已经尝试这样做了，使用生成器，下面的代码在我的机器 (YMMV) 上找到了大约 16 秒内的第 500 个三角形数。但我还使用了一个巧妙的技巧来找到除数，即quadratic sieve。
这是我的代码：
def triangle_num_generator():
""" return the next triangle number on each call
Nth triangle number is defined as SUM([1...N]) """
n = 1
s = 0
while 1:
s += n
n += 1
yield s
def triangle_num_naive(n):
""" return the nth triangle number using the triangle generator """
tgen = triangle_num_generator()
ret = 0
for i in range(n):
ret = tgen.next()
return ret
def divisor_gen(n):
""" finds divisors by using a quadrativ sieve """
divisors = []
# search from 1..sqrt(n)
for i in xrange(1, int(n**0.5) + 1):
if n % i is 0:
yield i
if i is not n / i:
divisors.insert(0, n / i)
for div in divisors:
yield div
def divisors(n):
return [d for d in divisor_gen(n)]
num_divs = 0
i = 1
while num_divs < 500:
i += 1
tnum = triangle_num_naive(i)
divs = divisors(tnum)
num_divs = len(divs)
print tnum # 76576500
在我简陋的机器上运行它会产生以下输出：
morten@laptop:~/documents/project_euler$ time python pr012.py
76576500
real 0m16.584s
user 0m16.521s
sys 0m0.016s
使用三角形公式代替幼稚的方法：
real 0m3.437s
user 0m3.424s
sys 0m0.000s
【讨论】：
【参考方案4】：我为同一任务编写了代码。它相当快。我使用了一种非常快速的因子查找算法来查找数字的因子。我还使用(n^2 + n)/2 来查找三角形数字。代码如下：
from functools import reduce
import time
start = time.time()
n = 1
list_divs = []
while len(list_divs) < 500:
tri_n = (n*n+n)/2 # Generates the triangle number T(n)
list_divs = list(set(reduce(list.__add__,([i, int(tri_n//i)] for i in range(1, int(pow(tri_n, 0.5) + 1)) if tri_n % i == 0)))) # this is the factor generator for any number n
n+=1
print(tri_n, time.time() - start)
它在一台正常的计算机上在 15 秒内完成工作。
【讨论】：
【参考方案5】：这是该问题的另一种解决方案。在此，我使用 Eratosthenes 的筛子找到素数，然后进行素数分解。 应用以下公式计算一个数的因数： 因子总数=(n+1)*(m+1).....
其中数字=2^n*3^n.......
我的最佳时间是 1.9 秒。
from time import time
t=time()
a=[0]*100
c=0
for i in range(2,100):
if a[i]==0:
for j in range(i*i,100,i):
continue
a[c]=i
c=c+1
print(a)
n=1
ctr=0
while(ctr<=1000):
ctr=1
triang=n*(n+1)/2
x=triang
i=0
n=n+1
while(a[i]<=x):
b=1
while(x%a[i]==0):
b=b+1
x=x//a[i];
i=i+1
ctr=ctr*b
print(triang)
print("took time",time()-t)
【讨论】：
【参考方案6】：这是我的答案，大约 3 秒即可解决。我认为可以通过跟踪除数或生成用作除数的素数列表来加快速度……但 3 秒对我来说已经足够快了。
import time
def numdivisors(triangle):
factors = 0
for i in range(1, int((triangle ** 0.5)) + 1):
if triangle % i == 0:
factors += 1
return factors * 2
def maxtriangledivisors(max):
i = 1
triangle = 0
while i > 0:
triangle += i
if numdivisors(triangle) >= max:
print 'it was found number', triangle,'triangle', i, 'with total of ', numdivisors(triangle), 'factors'
return triangle
i += 1
startTime=time.time()
maxtriangledivisors(500)
print(time.time()-startTime)
【讨论】：
以上是关于计算第一个三角形数以在 python 中有超过 500 个除数的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章