(Python) 马尔科夫、切比雪夫、切尔诺夫上限函数
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【中文标题】(Python) 马尔科夫、切比雪夫、切尔诺夫上限函数【英文标题】:(Python) Markov, Chebyshev, Chernoff upper bound functions 【发布时间】:2018-06-05 19:00:08 【问题描述】:我在学习过程中遇到了一项任务。
对于均值 μ=np 和方差σ**2=np(1−p)
的二项分布 X∼Bp,n,我们希望将概率上限设置为P(X≥c⋅μ) for c≥1
。
引入了三个界限:
Formulas
任务是分别为每个不等式编写三个函数。它们必须将n , p and c
作为输入,并返回上述马尔可夫、切比雪夫和切尔诺夫不等式给出的P(X≥c⋅np)
的上限作为输出。
还有一个IO的例子:
代码:
print Markov(100.,0.2,1.5)
print Chebyshev(100.,0.2,1.5)
print Chernoff(100.,0.2,1.5)
Output
0.6666666666666666
0.16
0.1353352832366127
我完全被困住了。我只是不知道如何将所有数学插入函数(或如何在这里进行算法思考)。如果有人可以帮助我,那将是很大的帮助!
附言并且除了 math.exp 之外,任务条件不允许所有库
【问题讨论】:
python中马尔可夫不等式怎么写? X 不是矩阵吗? 如何获得以下值? -> n = 100 p = 0.2 c = 1.5 【参考方案1】:好的,让我们看看给出了什么:
输入值和派生值:
n = 100
p = 0.2
c = 1.5
m = n*p = 100 * 0.2 = 20
s2 = n*p*(1-p) = 16
s = sqrt(s2) = sqrt(16) = 4
您有多个P(X>=a*m)
形式的不等式,您需要为术语P(X>=c*m)
提供界限,因此您需要考虑a
在所有情况下与c
的关系。
马尔可夫不等式:P(X>=a*m) <= 1/a
您被要求实现Markov(n,p,c)
,它将返回P(X>=c*m)
的上限。自从
P(X>=a*m)
= P(X>=c*m)
很明显a == c
,你得到1/a = 1/c
。好吧,那只是
def Markov(n, p, c):
return 1.0/c
>>> Markov(100,0.2,1.5)
0.6666666666666666
这很容易,不是吗?
切尔诺夫不等式指出P(X>=(1+d)*m) <= exp(-d**2/(2+d)*m)
首先,我们来验证一下
P(X>=(1+d)*m)
= P(X>=c *m)
然后
1+d = c
d = c-1
这为我们提供了计算上限所需的一切:
def Chernoff(n, p, c):
d = c-1
m = n*p
return math.exp(-d**2/(2+d)*m)
>>> Chernoff(100,0.2,1.5)
0.1353352832366127
切比雪夫不等式以P(X>=m+k*s)
为界1/k**2
如果
P(X>=c*m)
= P(X>=m+k*s)
然后
c*m = m+k*s
m*(c-1) = k*s
k = m*(c-1)/s
那么就直接实现了
def Chebyshev(n, p, c):
m = n*p
s = math.sqrt(n*p*(1-p))
k = m*(c-1)/s
return 1/k**2
>>> Chebyshev(100,0.2,1.5)
0.16
【讨论】:
那太好了以上是关于(Python) 马尔科夫、切比雪夫、切尔诺夫上限函数的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章