断开图中的所有顶点 - 算法

Posted 2023-03-16

【中文标题】断开图中的所有顶点 - 算法

【英文标题】：Disconnect all vertices in a graph - Algorithm

【发布时间】：2015-09-09 05:44:19

【问题描述】：

我正在寻找一种算法，它可以找到顶点的最小子集，这样通过从图中删除这个子集（以及连接这些顶点的边），所有其他顶点都变得不连接（即，图不会有任何边）。

有这样的算法吗？ 如果不是：您能否推荐某种启发式方法来指定顶点。

我对图论有基本的了解，如有不妥之处请见谅。

【问题讨论】：

要求我们推荐或查找书籍、工具、软件库、教程或其他场外资源的问题对于 Stack Overflow 来说是无关紧要的，因为它们往往会吸引固执己见的答案和垃圾邮件。相反，请描述问题以及迄今为止为解决该问题所做的工作。

@cybermonkey 没有这样的推荐请求。这个问题是主题，并且有一个明确的答案（参见@AmiTavory's）。 （显然有更多的答案，但没有一个会是自以为是的答案的垃圾邮件）。他正在描述一个问题，他正在得到一个答案。

@amit 它要求一个算法，这与'code for me'相同。

@cybermonkey 不，不是。要求算法是非常好的。 Example 1、Example 2、Example 3、Example 4。询问“如何做 X”是完全可以的，并且询问算法也是一个话题，因为它可以很容易地翻译成任何编程语言。您可以争辩说这个问题没有显示出足够的研究努力 - 但这是另一个问题。

【参考方案1】：

IIUC，这是经典的Minimum Vertex Cover 问题，不幸的是，NP Complete。

幸运的是，most intuitive and greedy possible algorithm 在这种情况下表现得非常好。

【讨论】：

当1.2738^(subset_size) time 太长时，“最直观和最贪婪的算法”只有“尽可能好”。​ ​

【参考方案2】：

贪心算法是顶点覆盖的 2 近似值，理论上，根据唯一游戏猜想，它已经达到了最好的水平。在实践中，将顶点覆盖公式求解为整数程序很可能会产生更好的结果。该程序是

min sum_v in V x(v)
s.t.
forall u, v in E, x(u) + x(v) >= 1
forall v in V, x(v) in 0, 1.

【参考方案3】：

试试这个方法：

定义一个变量来统计顶点数，从0开始； 创建一个顶点的最大堆，按每个顶点的相邻列表的长度排序； 从Heap的第一个顶点（边数最多的那个）中删除所有边并将其从Heap中删除，计数加1；

现在重新排序堆，因为顶点的边数发生了变化，重复上一步，直到从第一个顶点开始的相邻列表的长度为 0；

Heap Q
int count = 0

while(1)

    Q = Create_Heap(G)
    Vertex first = Q.pop
    if(first.adjacents.size() == 0) 
        break
    

    for( Vertex v : first.adjacent )
        RemoveEdge(first, v)
        RemoveEdge(v, first)    /* depends on the implementation */
    

    count = count + 1



return count