哈密​​顿路径和欧拉路径的区别

Posted 2023-02-16

【中文标题】哈密​​顿路径和欧拉路径的区别

【英文标题】：Difference between hamiltonian path and euler path

【发布时间】：2011-03-17 04:32:54

【问题描述】：

谁能告诉我哈密顿路径和欧拉路径之间的区别。它们看起来很相似！

【问题讨论】：

我已经删除了 C/C++ 标签。如果您实际上正在寻找某种关于欧拉/哈密顿路径的算法代码，请随时将它们添加回来。

一个路径只包含每个顶点一次（在封闭路径/循环的情况下可能是第一个/最后一个顶点）。所以 欧拉路径 或 欧拉循环 对我来说似乎是一种误导。它应该是欧拉轨迹或欧拉回路。

我同意阿布·纳菲医学博士的观点。 Euler path 这个名称似乎具有误导性，因为其中重复了顶点。它的原名是Eulerian trail。 Euler path 用词不当。

【参考方案1】：

欧拉路径 - 欧拉路径是每条边只经过一次的路径。

哈密顿路径 - 哈密顿路径是指每个顶点只经过一次的路径。

如果您曾经困惑过，请记住 E - Euler E - Edge。

【参考方案2】：

图论定义

（按一般性降序排列）

Walk：一系列边，其中一条边的结束标志着下一条边的开始

Trail：不重复任何边的行走。所有的小径都是步行。

路径：每个顶点最多遍历一次的路径。 （路径过去是指开放式行走，现在定义已更改）最多遍历顶点一次的属性意味着边也最多交叉一次，因此所有路径都是路径。

哈密顿路径和欧拉路径

哈密顿路径：访问图中的每个顶点（恰好一次，因为它是一条路径）

欧拉轨迹：只访问一次图中的每条边（因为它是一条轨迹，顶点很可能会多次交叉。）

【讨论】：

+1 用于考虑 Path 的定义（每个顶点只遍历一次）。 Euler Path 或 Euler Cycle 对我来说似乎具有误导性。它应该始终是欧拉轨迹或欧拉回路。不幸的是，其他答案没有考虑 Path 的定义。

请添加这些定义的官方来源的链接。

【参考方案3】：

欧拉路径是通过每条边恰好一次的路径。如果它在初始顶点处结束，则它是一个 欧拉循环。

Hamiltonian 路径 是通过每个顶点恰好一次（不是每条边）的路径。如果它在初始顶点处结束，则它是一个 Hamiltonian 循环。

在欧拉路径中，您可能会多次通过一个顶点。

在哈密顿路径中，您可能不会通过所有边。

【讨论】：

来自：pballew.net/graphs.html 请注意，对于欧拉路径，您可以多次访问每个顶点，而在汉密尔顿路径中，不必遍历每条边。

IIRC，很容易找到是否存在欧拉路径（或循环），但是图是否具有哈密顿量是 NP 完全的。

是的，我相信欧拉路径的某些属性可以用来证明图具有欧拉路径，而无需算法来遍历它。寻找哈密顿路径是一个 NP 完全的，我认为该算法涉及反复试验。我认为将其添加到答案中将超出原始问题的范围，OP 显然是图论的新手：D 对我来说已经有一段时间了，我可能会翻出我的旧书。

一个路径只包含每个顶点一次（在封闭路径/循环的情况下可能是第一个/最后一个顶点）。所以 欧拉路径 或 欧拉循环 对我来说似乎是一种误导。它应该是欧拉轨迹或欧拉回路。

我同意阿布·纳菲医学博士的观点。 Euler path 这个名称似乎具有误导性，因为其中重复了顶点。它的原名是Eulerian trail。 Euler path 用词不当。

【参考方案4】：

欧拉路径是一条使用了每条边的路径 只绘制一次。它必须恰好有两个奇数顶点。路径在不同的顶点开始和结束。哈密​​顿循环是包含图的每个顶点的循环，因此您可能不会使用图的所有边。

【参考方案5】：

我将使用生物学中的一个常见例子；通过制作 DNA 样本重建基因组。

从头组装

要从短读取构建基因组，有必要构建这些读取的图表。我们通过将读取分解为 k-mer 并将它们组装成一个图来做到这一点。

我们可以通过访问每个节点一次来重建基因组，如图所示。这称为哈密顿路径。

不幸的是，构建这样的路径是 NP 难的。不可能推导出一个有效的算法来解决它。相反，在生物信息学中，我们构建了一个欧拉循环，其中一条边代表一个重叠。

【参考方案6】：

欧拉路径是使用图的每条边（注意）恰好一次的图。欧拉回路是一条覆盖所有边后返回起点的欧拉路径。

虽然汉密尔顿路径是一个只覆盖所有顶点（注意）一次的图。当这条路径回到起点时，这条路径称为汉密尔顿回路。

【参考方案7】：

它们是相关的，但既不依赖也不相互排斥。如果一个图有一个欧勒环，它可能也有也可能没有哈密顿环，反之亦然。

---

欧拉循环只访问图中的每个边一次。如果图中的顶点有两条以上的边，那么根据定义，循环将多次通过这些顶点。因此，顶点可以重复，但边不能重复。

Hamiltonian 循环 只访问图中的每个顶点 一次（类似于旅行商问题）。因此，边和顶点都不能重复。

【讨论】：

您将路径和电路混为一谈。哈密​​顿/欧拉回路是在同一节点开始和结束的适当类型的路径/轨迹。

一个 Path 只包含每个顶点一次（在闭合路径/循环的情况下可能是第一个/最后一个顶点）。因此，Euler Path 或 Euler Cycle 对我来说似乎具有误导性。应该是欧拉轨迹或欧拉回路。

【参考方案8】：

哈密顿路径恰好访问每个节点（或顶点）一次，而欧拉路径恰好遍历每条边一次。

【讨论】：

一个 Path 只包含每个顶点一次（在闭合路径/循环的情况下可能是第一个/最后一个顶点）。因此，Euler Path 或 Euler Cycle 对我来说似乎具有误导性。应该是欧拉轨迹或欧拉回路。

【参考方案9】：

欧拉路径必须只访问每个边一次，而哈密顿路径必须只访问每个顶点一次。

【讨论】：

一个 Path 只包含每个顶点一次（在闭合路径/循环的情况下可能是第一个/最后一个顶点）。所以 欧拉路径 或 欧拉循环 对我来说似乎是一种误导。它应该是欧拉轨迹或欧拉回路。

请添加这些定义的官方来源的链接。