离散傅立叶变换给出“正确”答案的复共轭

Posted 2023-02-22

【中文标题】离散傅立叶变换给出“正确”答案的复共轭

【英文标题】：Discrete fourier transform giving complex conjugate of "right" answer

【发布时间】：2016-04-05 16:45:47

【问题描述】：

我正在尝试在 python 中实现离散傅立叶变换的简单版本。 我的代码如下：

#!/usr/bin/env python
import cmath
def dft_simple(sequence):
# dft of seq defined as
# sigma from n=0 to N-1 of x(n) *exp(-2*pi*j*k*n/N)
  seqLenth = len(sequence)
  complexSequence = []
  for k in range(seqLenth):
    sigma = 0 - 0j
    print("k = ".format(k))
    for n in range(seqLenth):
      print("n = ".format(n))
      print("value = ".format(sequence[n] * cmath.exp(-2*1j * cmath.pi * float(k) \
                                    * float(n)  / float(seqLenth))))
      sigma = sigma + (sequence[n] * cmath.exp(-2*1j * cmath.pi * float(k) \
                                    * float(n)  / float(seqLenth)))
      print("exp = 0".format(-2*1j * cmath.pi * float(k) \
                                    * float(n)  / float(seqLenth)))
    complexSequence.append(sigma)

    print("sum = ".format(sigma))
    print("")
  return(complexSequence)
seq4 = [1,1,1,1,0,0,0,0]
print(dft_simple(seq4))

我收到以下结果：

[(4+0j), (1-2.414213562373095j), (-1.8369701987210297e-16-2.220446049250313e-16j), (1-0.4142135623730949j), -2.449293598294706e-16j, (0.9999999999999992+0.4142135623730959j), (3.2904645469127765e-16-3.3306690738754696e-16j), (0.9999999999999997+2.4142135623730954j)]

这与我在以两种方式计算同一序列here, 的 DFT 时在 wolfram alpha 上得到的答案不同。首先，wolfram alpha 除以 sqrt(N)，其中 N 是序列的长度，这只是正向和逆变换的不同对称定义。 其次，更令人困惑的是，我的实现给了我 wolfram alpha 给我的结果的复共轭——否则数值大致相同。这是我的代码的实现问题（例如语法错误），还是只是使用离散傅立叶变换的不同定义的 wolfram？

【问题讨论】：

Wolfram uses a different definition of the discrete fourier transform

@SleuthEye 修复了您的链接：Wolfram uses a different definition of DFT

啊，好吧，这更有意义 - 我以前使用 wolfram math world 作为参考，感谢您清除它。您能否将其保留为答案，以便我将此问题标记为已解决？

【参考方案1】：

在这两种情况下（对于缩放和复共轭结果），根本原因是用于离散傅里叶变换 (DFT) 的定义不同。

default definition of the DFT from Wolfram 使用公式：

或等效地使用从零开始的索引、时间索引n、频率索引k 和j=sqrt(-1) 与您的实现进行比较：

您的实现使用 Wolfram 所说的“信号处理”约定：

又相当于：

对于实值输入序列，在复指数项中使用负号会产生一个结果，该结果是在复指数项中使用正号的类似表达式的复共轭（反之亦然）：