关于离散余弦变换（DCT）

Posted 2023-05-06

参考技术A 1.转自： 离散余弦变换(DCT)的定义_小火车_新浪博客

已知离散傅里叶变换（ DFT）为：

由于许多要处理的信号都是实信号，在使用DFT时由于傅里叶变换时由于实信号傅立叶变换的共轭对称性导致DFT后在频域中有一半的数据冗余。

离散余弦变换（DCT）是对实信号定义的一种变换，变换后在频域中得到的也是一个实信号，相比DFT而言,DCT可以减少一半以上的计算。DCT还有一个很重要的性质（能量集中特性）：大多书自然信号（声音、图像）的能量都集中在离散余弦变换后的低频部分，因而DCT在（声音、图像）数据压缩中得到了广泛的使用。由于DCT是从DFT推导出来的另一种变换，因此许多DFT的属性在DCT中仍然是保留下来的。

推导N点长实序列的DCT，首先来定义一个新的长度为2N的序列：

可看作是将周期为N的序列x[m]做一个周期延拓成一个周期为2N的序列。如图1中第一张图。

再来看图1中第一张图是关于x = -1/2对称的，要让他关于x = 0对称需要将其向右平移1/2个单位，得到x’[m] = x’[m – 1/2]就是关于x = 0对称的周期序列了（如图1中第二张图）。

然后求这个2N序列的DFT：

就是DCT-2型离散余弦变换.从上面的过程也可以直接看出,离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换.

变换后的x[n]是以2N为周期,偶对称的序列: X[N+n] = X[N+n-2N] = X[n-N] = x[N-n]

定义变换矩阵C[n,m]:

用计算机计算DCT-2 (用的是O(n^2)朴素算法，用于验证正交特性以及观察其频域数据)：

DCT的结果：

对相同序列FFT的结果：

比较DFT和FFT的结果可以观察出DCT变换只有实部，而DFT变换后有虚部。在这个例子中DCT在频域中只用3个点就可以表示这个信号，而DFT变换后在频域中需要5个点来表示信号。

参考： http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/dct/node1.html

2.转自： 二维DCT变换 - Wuyuan's Blog

写这篇文章的目的主要是为了给x264打好基础，x264用的是整数DCT变换，所以就先来说说DCT变换吧。

DCT(Discrete Cosine Transform)，又叫离散余弦变换，它的第二种类型，经常用于信号和图像数据的压缩。经过DCT变换后的数据能量非常集中，一般只有左上角的数值是非零的，也就是能量都集中在离散余弦变换后的直流和低频部分，下面我会用matlab来演示整个过程。

1.一维DCT变换

我们首先来看看一维的DCT变换，这是二维的基础。一维的DCT变换共有8种，其中最实用的是第二种形式，公式如下：

其中c(u)是加上去一个系数，为了能使DCT变换矩阵成为正交矩阵，在后面二维变换将看到他的作用。N是f(x)的总数。相比其他几种形式，他的运算还是比较简单的，因此也用的比较广。

2.二维DCT变换

二维DCT变换是在一维的基础上再进行一次DCT变换，这个比较好理解，直接看公式：

这里我只讨论两个N相等的情况，也就是数据是方阵的形式，在实际应用中对不是方阵的数据都是先补齐再进行变换的。为了matlab仿真方便点，写成矩阵形式：

下面就用matlab来模拟一下，使用随机生成的4x4矩阵作为输入，程序如下：

Y是使用上面的公式进行变换，YY是用matlab自带的dct2函数变换，结果是是：

可以看出Y和YY的结果是一样的，这也进一步验证了上面的公式是正确的。由于X是我随机生成的，相关性很小，变换后的结果比较乱；如果是信号或图像这样相关性比较大的数据的话，数值会集中在左上角，右下角一般都是零，再使用“之”字型扫描得到数据流会包含很多连续的零，编码后数据量会非常小，这就是DCT变换带来的好处。

3.二维DCT反变换

DCT逆变换的公式如下：

矩阵形式可以由正变换的公式直接推出来，因为在A中加了c(i)这个系数，使得A成为了正交矩阵，所以我们就可以这样做：

在用matlab来验证是否能反变换出原来的数据：

X使用的是上面正变换用的数据，运行后得到的X1为：

X1=

61.000019.000050.000020.0000

82.000026.000061.000045.0000

89.000090.000082.000043.0000

93.000059.000053.000097.0000

和X完全相等。在实际进行编码的时候，比如JPEG压缩的时候，只会对Y左上角的数据进行传输，所以解码出来的内容不会完全和原来的相同。

4.整数DCT变换

说道DCT就顺便提一下x264中的整数DCT变换，整数DCT变换是以DCT变换为基础的，为了减少计算量做的一些调整，下面我写一下整数DCT变换公式的大致推导过程：

然后根据A是正交矩阵，把c=bd带入A中，使行向量为单位向量可以得到d=0.4142。令d=0.5，得到b*b=0.4,代入上面的式子中，把0.5提取出来放到右边的点乘中就得到了：

这样在对大括号部分进行计算时就都是加法和减法了，而且在精度上没有太大降低。在x264实际编码中，变换和量化是一起进行的，使得编码速度有了很大的提高。

图像隐藏基于DCT(离散余弦变换)与SVD(奇异值分解)域实现自适应嵌入水印含攻击

一、引言

       DCT变换的全称是离散余弦变换(Discrete Cosine Transform)，主要用于将数据或图像的压缩，能够将空域的信号转换到频域上，具有良好的去相关性的性能。DCT变换本身是无损的，但是在图像编码等领域给接下来的量化、哈弗曼编码等创造了很好的条件，同时，由于DCT变换时对称的，所以，我们可以在量化编码后利用DCT反变换，在接收端恢复原始的图像信息。DCT变换在当前的图像分析已经压缩领域有着极为广大的用途，我们常见的JPEG静态图像编码以及MJPEG、MPEG动态编码等标准中都使用了DCT变换。

 

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二、一维DCT变换

      一维DCT变换时二维DCT变换的基础，所以我们先来讨论下一维DCT变换。一维DCT变换共有8种形式，其中最常用的是第二种形式，由于其运算简单、适用范围广。我们在这里只讨论这种形式，其表达式如下：

      

       其中，f(i)为原始的信号，F(u)是DCT变换后的系数，N为原始信号的点数，c(u)可以认为是一个补偿系数，可以使DCT变换矩阵为正交矩阵。

 

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三、二维DCT变换

       二维DCT变换其实是在一维DCT变换的基础上在做了一次DCT变换，其公式如下：

     

       由公式我们可以看出，上面只讨论了二维图像数据为方阵的情况，在实际应用中，如果不是方阵的数据一般都是补齐之后再做变换的，重构之后可以去掉补齐的部分，得到原始的图像信息，这个尝试一下，应该比较容易理解。

      另外，由于DCT变换高度的对称性，在使用Matlab进行相关的运算时，我们可以使用更简单的矩阵处理方式：

    

clear all;
close all;
clc;
key=30; %密钥key为Arnold置乱的次数
Orignalpicture=double(imread('lena.jpg')); %读入原始图片
[prow,pcol]=size(Orignalpicture);  %取原始图片的高，宽
Orignalmark=double(imread('suda.bmp'));%读入64*64的水印图片
[wrow,wcol]=size(Orignalmark); 
%--- 测试密钥key是否超出范围------
n=check_arnold(wrow);
if (key+1)>n
    error('arnold key error');
end
arnoldw=arnold(Orignalmark,wrow,key); %Arnold置乱
figure(1);
imshow(uint8(Orignalmark)); %显示图片
title('原始水印图像');
figure(2);
imshow(uint8(arnoldw));
title('置乱后的水印图像');
%  分块 DCT 
fun1=@dct2;  
im_dct=blkproc(Orignalpicture,[8 8],fun1);
numblk1=prow/8;
numblk2=pcol/8;
A=zeros(numblk1,numblk2);
for k=1:numblk1
    for p=1:numblk2
         x=(k-1)*8+1; y=(p-1)*8+1;
         A(k,p)=im_dct(x,y);     %取DCT变换后的高频系数
    end
end
[U,D,V]=svd(A);   %奇异值分解
a=0.2;%水印嵌入强度
for i=1:wrow
    for j=1:wcol
        DD(i,j)=D(i,j)+a*arnoldw(i,j);
    end
end
[U1,D1,V1]=svd(DD);
A1=U*D1*V';
for k=1:numblk1
    for p=1:numblk2
         x=(k-1)*8+1; y=(p-1)*8+1;
         im_dct(x,y)=A1(k,p);
    end
end
fun2=@idct2;  %dct反变换
imw=blkproc(im_dct,[8 8],fun2);
figure(3);
subplot(1,2,1);
imshow(uint8(Orignalpicture));
title('原始图像');
subplot(1,2,2);
imshow(uint8(imw));
title('嵌入水印后的图像');
psnrvalue=psnr(Orignalpicture,imw)
%攻击预处理--------------------------------------------------------------
f=imw;
%将含水印图像f归一化,以便于攻击处理。
m=max(max(f));
f=double(f)./double(m);
attack=13;
%攻击----------------------------------------------------------------------
switch attack
    case 0,
        attackf=f;
        att='未攻击';
    case 1,    
%%1. JPEG 压缩
 imwrite(f,'attackf.jpg','jpg','quality',50);
 attackf=imread('attackf.jpg');
 attackf=double(attackf)/255;
 att='JPEG压缩';
    case 2,

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