Ford-Fulkerson 算法找到哪个最小割？

Posted 2023-02-19

【中文标题】Ford-Fulkerson 算法找到哪个最小割？

【英文标题】：Which min-cut does the Ford-Fulkerson algorithm find?

【发布时间】：2015-06-07 17:17:32

【问题描述】：

一个网络中可以有多个最小切割。例如：

有四个最小切割，Ford-Fulkerson 找到一个“更接近” s（源）。我们可以对所有网络都说同样的话吗？也就是说，Ford-Fulkerson 找到离源最近的切口？如果属实，我们如何将流网络中“最接近源”的概念形式化？

【问题讨论】：

你找到答案了吗？我想听听答案。有同样的想法:)

【参考方案1】：

让我们将切割表示为一组包含源但不包含汇的顶点。最小割具有两个最小割的交集是最小割的性质（这也适用于联合）。因此，所有最小割的交集在某种意义上是离源“最近”的最小割，因为它是所有其他最小割的子集。

【参考方案2】：

（假设最小割在交集下闭合。）

我们声称最小割（最接近割）的交集正是 FF 返回的割。这是一个粗略的证明草图。

由MaxFlow MinCut定理，成立如下结果：

如果每条离开它的边都完全饱和，则切割是最小的，即 f(e) = c(e)。

因此，为了矛盾，假设有一个最小割 C = Ca, Cb，它比 FF 返回的更接近源，我将其称为 F = Fa, Fb。

然后取边 e = (v, w) 使得它在 Fa 中但现在不在 Ca 中（它是 Ca 的出边）。该边缘必须完全饱和。因此，根据残差图的定义，残差图中只有后向边 (w, v)，然后该节点 w 将无法到达 - 但 w 在 Fa 中，因此它一定是可到达的，这是矛盾的。