有没有一种算法可以在分离源和汇的无向图中找到最小割

Posted 2023-02-19

【中文标题】有没有一种算法可以在分离源和汇的无向图中找到最小割

【英文标题】：Is there an algorithm to find minimum cut in undirected graph separating source and sink

【发布时间】：2016-08-20 21:19:08

【问题描述】：

我有一个边加权无向图和 2 个节点（通常称为源和汇）。我需要找到一组可能权重最小的边，将这 2 个节点分成 2 个弱分量。

我知道Ford-Fulkerson's maximum flow algorithm 和他关于有向图上的maximum flow and minimum cut relation 的定理。

我还知道 Ford-Fulkerson 的无向图最大流算法的修改，它用 2 个相反的有向边替换每个无向边，并同时更新流向它们的流。但是通过这种修改，max-flow-min-cut-theorem 似乎不再有效，因为在以下无向图上，将无法正确确定最小切割：

nodes: 0, 1, 2, 3
edges & capacities: 0,1->5, 0,2->6, 1,2->2, 1,3->7, 2,3->4
source: 0
sink: 3

max-flow-min-cut theorem 说，最小割是那些边，流动等于它们的容量，而通过修正的 Ford-Fulkerson 就是所有的边，这显然不是正确的割。

我在无向图中找到了一个Stoer–Wagner algorithm for finding a global minimum cut，但这不是我想要的，因为该算法不考虑任何源和汇，并且可以找到一个切口，让节点位于同一个组件中。

是否有任何算法可以有效地在具有源和汇的无向图中找到最小割，分离这两个指定节点？ 我可以以某种方式修改前面提到的算法以使它们适用于我的情况吗？

【问题讨论】：

如何通过将每个无向边替换为每个方向的 2 条边来将您的图转换为有向图？

@SamSegers：这适用于流程，但不再适用于削减，我将尝试对此提出更多信息

@Youda008：为什么这不能用于寻找切口本身？

【参考方案1】：

您可以对 Ford-Fulkerson 算法进行一些修改。

首先，您需要找到源和接收器之间的最大流量并记住它。 从图中删除一些边。 然后你需要在新图中找到最大流量。如果最大流量与第一步不同，则此边缘处于最小切割中。 将边返回图形，选择另一条边并转到第 2 步。

当您找到最大流量时，只需将无向边视为具有相同容量的两条有向边。

【讨论】：

我认为这行不通。如果移除任何非零流的边，全局流将始终改变。

【参考方案2】：

max-flow-min-cut theorem说，最小切割是那些边，流量等于它们的容量......

这是不正确的。你已经给出了一个反例。在this post 中给出了从最大流中找到最小切割的正确算法。我在这里引用它。

最小切割是将节点分成两组。

找到最大流量后，可以通过创建 残差图，当从 源到所有可达节点，这些节点定义的一部分 划分。将此分区称为 A。其余节点（ 不可达的）可以称为 B. 最小割的大小是 原始网络中流过的边的权重之和 从 A 中的一个节点到 B 中的一个节点。

因此，正如您所说，您可以将每条边转换为 2 条相反的有向边，计算新图中的最大流量，然后使用上述算法将最大流量转换为最小切割。