通缉：有序二叉树输出法的递归公式

Posted 2023-02-19

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【中文标题】通缉：有序二叉树输出法的递归公式【英文标题】：Wanted: Recurrence Formula of In-Order binary tree output method 【发布时间】：2012-07-08 10:48:18 【问题描述】：

我在寻找这个 java 方法的递归公式时有点卡住了

void printInorder(Node<T> v) 
    if(v != null) 
        printInorder(v.getLeft());
        System.out.println(v.getData());
        printInorder(v.getRight());

一些标准：

它是一棵完全二叉树（每个内结有 2 个孩子，每个叶子的深度相同）这棵树有 n 个结点，复杂度为 O(n)

我必须找到与n knots 的树的depth h 相关的递归公式，作为额外的奖励，我需要从中推断出导致 O(n) 的显式公式。

现在，这就是我得到的：

d = depth of the tree
c = constant runtime for execution of the method itself
d = 1: T(n) = c
d = 3: T(n) = T(d=1) + T(d=2) + T(d=3) + c

我使用示例 d = 3 来为自己澄清事情，我很难进一步分解它。我的假设是否正确？

编辑：下一次尝试

[x] =  x in real numbers : max([x]) <= x , [x] rounded down to next full number
d = 1: T(d) = 1
d > 1: T(d) = 2^(h-1) * T(n/(2^(h-1)))

1: T(h)  = T(i = 0) + T(i = 1) + ... T(i = h-1)
2: T(h) <= (2^(0-1) + n/(2^(0-1))) + (2^(1-1) + n/(2^(1-1))) + ... + (2^(h-2) + n/(2^(h-2)))
3: T(h)  = n + n + ... + n
4: T(h)  = (h-1)n
5: T(h)  = O(n)

因为树的每一层深度正好包含 2^(h-1) 个节点，所以第 4 行中的 h 因子可以忽略，因为 n 与最终结果更相关。

【问题讨论】：

【参考方案1】：

T(n) = T(n/2) + T(n/2) + 1

0 级有 1 个操作。

1 级有 2 个操作。

2 级有 4 个操作。

k 级有 2^k 次操作。

树的深度是lgn。

1+2+...+2^lgn= 2^0+2^1+2^2+...+2^lgn= (2^(lgn + 1)-1)/(2-1)=2*2^lgn= 2n.

【讨论】：

【参考方案2】：