二叉树与二叉搜索树

Posted 2021-04-09 小鲸融创

从二叉树到二叉搜索树

二叉树由节点组成，其中每个节点包含一个“左”指针，一个“右”指针和一个数据元素。 “根”指针指向树中的最高节点。 左右指针递归地指向两侧的较小“子树”。 空指针表示没有元素的二叉树-空树。 正式的递归定义是： 二叉树不是空的（由空指针表示），还是由单个节点组成，其中左右指针（前面的递归定义）每个都指向二叉树。

“二叉搜索树”（BST）或“有序二叉树”是一种二叉树，其中节点按顺序排列：对于每个节点，其左子树中的所有元素都小于或等于该节点（< =），并且其右子树中的所有元素都大于节点（>）。上面显示的树是二叉搜索树-“根”节点为5，其左子树节点（1、3、4）<= 5，其右子树节点（6、9）> 5递归地，每个子树还必须服从二进制搜索树约束：在（1、3、4）子树中，3是根，1 <= 3和4> 3。

树底部边缘的节点具有空子树，称为“叶”节点（1、4、6），而其他节点为“内部”节点（3、5、9）。

基本上，二叉搜索树的插入和查找速度很快。下面将介绍这两种算法的代码。平均而言，二叉搜索树算法可以按lg（N）时间顺序（N对数2）在N个节点树中定位一个节点。因此，二叉搜索树适用于“字典”问题，在该问题中代码将插入并查找由某些键索引的信息。

对于每个问题，有两件事要理解...

• 组成树的节点/指针结构以及对其进行操作的代码
• 通常在树上进行迭代的算法

考虑二叉树问题时，通常最好画几棵小树来考虑各种情况。

C / C ++中的典型二叉树代码

作为介绍，我们将看一下两个最基本的二进制搜索树操作的代码——lookup（）和insert（）。此处的代码适用于C或C ++。

在C或C ++中，二进制树是用这样的节点类型构建的...

1、lookup（）方法

给定二叉搜索树和“目标”值，搜索树以查看其是否包含目标。lookup（）代码的基本模式出现在许多递归树算法中：处理树为空的基本情况，处理当前节点，然后使用递归处理子树。如果树是二叉搜索树，则通常在节点上进行某种小于测试，以决定递归应该向左还是向右进行。

2、Insert（）方法

Insert（）给定二叉搜索树和一个数字，将具有给定数字的新节点插入树中的正确位置。insert（）代码与lookup（）类似，但有一个复杂之处，就是它修改了树形结构。如上所述，insert（）返回新的树指针以用于其调用者。在此树上以数字5调用insert（）

返回树

此处显示的解决方案引入了一个newNode（）帮助函数，该函数构建单个节点。基本案例/递归结构类似于lookup（）中的结构-每个调用都检查NULL情况，查看当前节点，然后根据需要向下递归左或右子树。

二叉树的形状在很大程度上取决于节点插入的顺序。特别是，如果按递增顺序（1、2、3、4）插入节点，则树节点仅向右生长，从而导致链表形状，其中所有左指针均为NULL。如果以降序（4、3、2、1）插入节点，则会发生类似的情况。

本讲讲述了二叉树的基本特征与概念，同时引出了大名鼎鼎的非常有用的二叉搜索树，以及二叉搜索树的lookup和insert方法的实现思路及代码实现。

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