背包算法变量

Posted 2023-02-22

【中文标题】背包算法变量

【英文标题】：knapsack algorithm variate

【发布时间】：2012-05-22 08:30:10

【问题描述】：

我遇到的问题如下： 假设我有一个给定重量的存钱罐，我用一组给定的硬币存钱。最后，我知道了存钱罐的总重量以及我使用的硬币的重量和价值。

我想找出我可以保证存入存钱罐的最低金额，即最坏的情况。例如，如果：

总重量 = 100 使用的硬币重量 = 1, 50 硬币价值 = 1, 30

那么我可以保证的银行最低金额是60。

问题是背包变体，但我找不到正确的重复出现。

提前致谢！

【问题讨论】：

spoj.pl/problems/PIGBANK

这是一个 spoj 问题。我已经发布了链接。

我删除了 C 标签，这不是特定于语言的。

【参考方案1】：

我处理这个问题的方法是评估该组中的每个硬币以确定其“价值密度”（因为需要一个更好的术语） - 价值除以重量。在您的示例中，第一枚硬币的价值密度为 1，然后第二枚硬币的价值密度为 30/50 = 0.6。

然后从总重量为零开始，在不超过给定重量的情况下使用最低的“价值密度”硬币。然后应用下一个最低的“价值密度”硬币，依此类推，直到达到给定的重量。

这大致是一种贪心算法。

【讨论】：

我喜欢这个“价值密度”的想法！非常感谢..现在让我们尝试实现它并查看结果！

a-gw'on 那么，有一个 +1 ~tbf，是不是需要最少 15 个代表才能投票？

【参考方案2】：

通常背包问题 AFAIK 只有指数解决方案。也就是说，假设您拥有特定数量的每种硬币。在最一般的情况下，您必须尝试所有可能的组合（当然不超过总重量）。

递归算法如下所示：

const int N = /* type count*/;

const int g_Weight[N] =  ... ;
const int g_Value[N] =  ... ;

int CalcMinValueFrom(int weight, int i)

    int valBest = 0, valMy = 0;

    if (weight <= 0)
        return 0; // weight already reached

    if (i >= N)
        return -1; // out of coins

    while (true)
    
        int valNext = CalcMinValueFrom(weight, i+1);
        if (valNext >= 0)
        
            valNext += valMy;
            if (!valBest || (valBest > valNext))
                valBest = valNext;
        

        valMy += g_Value[i];
        weight -= g_Weight[i];

        if (valBest && (valBest <= valMy))
            return valBest;
    


// Returns the minimum value for the given weight    
int CalcMinValue(int weight)

    return CalcMinValueFrom(weight, 0);

但在特定情况下存在更好的解决方案。如果重量远大于任何硬币的重量，那么您可以很容易地粗略估计结果。将每枚硬币的“效率”定义为其价值和重量之间的比率。为了使价值最小化，您应该只选择“效率”最低的硬币。该解决方案精确到“边缘效应”，例如四舍五入等（意味着 - 你只能取整数个硬币）。

【参考方案3】：

显然你知道这个问题，但你想找到一种方法来计算解决方案^^。

对于精确的方法，您可以查看分支定界算法。这是一种相对简单的 OR 方法，可以找到背包问题的精确解，您应该可以找到很多关于它的课程。

Vicky 提交了一个很好的解决方案来计算分支定界算法的下限。