趣味算法--约瑟夫环问题

Posted 2020-11-08 鸡蛋番茄

问题描述

已知n个人（以编号1,2,3,...,n分别表示）围坐在一张圆桌上。指定编号为k的人开始从1报数，数到m的那个人出列；出列那个人的下一位又从1开始报数，数到m的那个人出列；以此规则重复下去，直到圆桌上的人全部出列。

分析解决

解决方法主要有逻辑分析、数学分析法。

逻辑分析：就是按照游戏规则一个个报数，报到m的人出局，结构层次简单清晰明了。这种方式实现主要采用顺序表实现

数学分析：采用数学方式归纳统计分析出每次出局人的规律，直接得出每次出局的人，然后以代码实现。这种方法需要较强的数学分析能力，代码较简单。这种实现主要采用数学公式。

逻辑分析

先以C语言数组为例，由于C语言数组不能像Java、Python这种面向对象语言的数组那样使用删除数组元素的方法，每次删除数组中的一个元素，都要将后面元素前移一位，这里简单的将删除的元素值设为0。

假设总人数n=7，从编号k=2的人开始，数到m=3的人出局，下面是分析过程。

 1 #include <stdio.h>
 2   
 3 int main(void)
 4 {
 5     int total;      //define total people   
 6     int out;        //define out number
 7     int start;      //define start number
 8   
 9     /* set the total, out and start number */
10     printf("Please enter the total people\\n");
11     scanf("%d", &total);
12     printf("Please enter the out number\\n");
13     scanf("%d", &out);
14     printf("Please enter the start position\\n");
15     scanf("%d", &start);
16 
17     int people[total];        //init the people
18     int i = start - 1;      //init i for people tag
19     int count = 0;          //init count for the people out
20     int remain = total;     //init the remain number of people
21 
22     /* init josephus ring */
23     int j = 0;
24     for (j = 0; j < total; j++)
25         people[j] = j + 1;
26 
27     /* begin to solve josephus problem */
28     printf("begin to solve josephus\'s problem.\\n");
29     /* print josephus ring */
30     for (j = 0; j < total; j++)
31         printf("%d ", people[j]);
32     printf("\\n");
33 
34     while (1)
35     {
36         if(people[i] > 0)
37         {
38             count++;
39         }else
40         {
41             i++;
42             if (i == total)
43                 i = 0;
44             continue;
45         }
46 
47         if(count == out)
48         {
49             printf("The people of %d is out.\\n", people[i]);
50             people[i] = 0;
51             count = 0;
52             remain--;
53         }
54 
55         i++;
56         if (i == total)
57             i = 0;
58 
59         if (remain == 0)
60             break;
61 
62     }
63 
64     printf("Josephus has solved his problem\\n");
65 
66     return 0;
67 }

C 数组版

运行后，结果与上面分析一致

下面给出Java的集合对象实现和Python的列表实现。因为Java集合对象和Python列表都有删除元素的方法，这里的逻辑和上面稍有不同。

这里配的图第5个出列后面解释有点错误，大概的意思和第二个出列的处理类似。

 1 import java.util.Scanner;
 2 import java.util.ArrayList;
 3 import java.util.List;
 4 
 5 public class JOSEPHUS {
 6 
 7     public static void main(String[] args) {
 8         /*init data*/
 9         Scanner scanner = new Scanner(System.in);
10         System.out.println("Please enter the total people");
11         int total = scanner.nextInt();
12         System.out.println("Please enter the out number");
13         int out = scanner.nextInt();
14         System.out.println("Please enter the start position");
15         int start = scanner.nextInt();
16         
17         int count = 0;        //define count for people
18 
19         /*init josephus ring and print it*/
20         List<Integer> people = new ArrayList<Integer>();
21         for (int i = 0; i < total; i++)
22             people.add(i + 1);
23         System.out.println(people);
24         
25         int now = start - 1;    //Pointer of people who count 
26         
27         /*Begin to solve josephus problem*/
28         while(people.size()>0) {
29             count++;
30             if(count == out) {
31                 System.out.println("The people of " + people.get(now) + " is out");
32                 people.remove(now);
33                 //System.out.println(people);
34                 if (now == people.size())
35                     count = 0;
36                 else
37                     count=1;
38             }
39             
40             now++;
41             if(now >= people.size())
42                 now = 0;
43         }
44     }
45 }

java集合版

代码运行结果与分析一致，java集合版比C数组版逻辑处理代码稍微简单一点点。

 1 total = int(input("请输入总人数："))
 2 out = int(input("请输入出局号："))
 3 start = int(input("请输入开始位置："))
 4 
 5 #初始化约瑟夫环
 6 people = []
 7 for i in range(total):
 8     people.append(i+1)
 9 
10 print("需要处理的约瑟夫环为：\\n",people)
11 count = 0       #定义报数变量
12 now = start - 1     #now指定当前报数的人
13 while len(people):
14     count += 1
15     if(count == out):
16         print("编号为 %d 的人出局" %people[now])
17         people.pop(now)
18         if now == len(people):
19             count = 0
20         else:
21             count = 1
22     now += 1
23     if now >= len(people):
24         now = 0

Python列表版

运行结果与分析一致，可以看出C、java和Python用数组实现约瑟夫环，Python的代码是最短的，C的代码最长，Java居中。当然代码都还有优化的地方。

也可以使用环形链表实现。

数学分析

总人数有n个人，从k的位置开始报数，报数到m的人出局。

先假设人数n足够大，不管出局多少个人，都不会回到编号为1的位置。

第一次出局的人的位置为k-1+m，出局人的下一位从新开始报数，这就成了一个新的约瑟夫环，相当于第二次报数的起始位置从k+m开始，总人数为n-1；

第二次出局的人的位置为k+m-1+m，出局人的下一位从新开始报数，这就又成了一个新的约瑟夫环，相当于第三次报数的起始位置从k+2m开始，总人数为n-2；

第三次出局的人的位置为k+2m-1+m，出局人的下一位从新开始报数，这就又成了一个新的约瑟夫环，相当于第四次报数的起始位置从k+3m开始，总人数为n-3；

。。。

第t次出局的人的位置为k+tm-1，出局人的下一位从新开始报数，这就又成了一个新的约瑟夫环，相当于第t+1次报数的起始位置从k+tm开始，总人数为n-t。

因为假设人数n足够大，不管出局多少个人，都不会回到编号为1的位置，相当与出局后又成了一个新的约瑟夫环，所以(k+tm-1)%(n-t)=(k+tm-1)为出局人的位置。

现在假设k-1+m>n

 当编号n报数时还没有报到m，则从编号1接着编号n报数，相当与n后面还是接着无穷无尽等待报数的人。

假设循环c轮，编号p，报的数是m，编号p要出局，相当于k-1+m=cn+p，即(k-1+m)%cn=p，剩余的人数为n-1。

按上面的方法很容易得出第t次出局的人的编号为(k+tm-1)%(n-t)。

当k-1+m=n时

 即编号为n的人报数为m，此时(k+tm-1)%(n-t)=0，重新开始的位置为编号为1的位置。

 1 package yuesefu;
 2 import java.util.ArrayList;
 3 import java.util.List;
 4 import java.util.Scanner;
 5 
 6 public class Yue {
 7     public static void main(String[] args) {
 8         Scanner scanner = new Scanner(System.in);
 9         System.out.print("请输入总人数：");
10         int total = scanner.nextInt();
11         System.out.print("请输入出局号：");
12         int count = scanner.nextInt();
13         System.out.print("请输入开始的编号：");
14         int start = scanner.nextInt();
15         
16         /*初始化约瑟夫环*/
17         List<Integer> people = new ArrayList<Integer>();
18         for (int i = 1; i <= total; i++) {
19             people.add(i);
20         }
21         int k=start-1;
22         System.out.println("约瑟夫环为："+people);
23         while (people.size()>0) {
24             k = (k + count)%(people.size())-1;
25             if(k<0) {
26                 System.out.println("出局人的编号为：" + people.get(people.size()-1));
27                 people.remove(people.size()-1);
28                 k=0;
29             }else {
30                 System.out.println("出局人的编号为：" + people.get(k));
31                 people.remove(k);
32             }
33         }
34     }
35 }

Java 实现

 1 total = int(input("请输入总人数："))
 2 out = int(input("请输入出局号："))
 3 start = int(input("请输入开始位置："))
 4 
 5 #初始化约瑟夫环
 6 people = []
 7 for i in range(total):
 8     people.append(i+1)
 9 
10 print("需要处理的约瑟夫环为：\\n",people)
11 now = start - 1     #now指定当前报数的人
12 while len(people):
13     now = (now + out)%len(people)-1
14     if now < 0:
15         print("编号为 %d 的人出局" %people[now])
16         people.pop(now)
17         now = 0
18     else:
19         print("编号为 %d 的人出局" % people[now])
20         people.pop(now)

Python实现

测试的结果也是和前面的测试结果一样的，可以看到后面程序处理更简单些，省了很多逻辑判断环节，这就是数学的魅力。