矩阵求和

Posted 2020-07-11 wxjor

矩阵求和 难度级别：A； 编程语言：不限；运行时间限制：3000ms； 运行空间限制：256000KB； 代码长度限制：2000000B 试题描述 矩阵求和 输入 第一行n和m，表示行数和列数 接下来n行表示矩阵 再来一行一个整数q，表示询问个数 接下来q行，每行四个整数x1,y1,x2,y2表示左上右下的坐标 输出 对于每个询问输出一个整数表示该矩阵范围内的整数和 输入示例 5 5 1 2 5 4 1 1 1 7 6 8 8 7 9 5 2 4 4 4 1 8 5 10 11 13 7 3 2 1 4 3 2 2 5 5 4 1 5 4 输出示例 45 103 52 其他说明 n,m < 2001 q < 100001 矩阵内所有数小于2000

代码：

 1 #include<iostream>
 2 
 3 int a,m,n,i,j,k,x1,y1,x2,y2;
 4 
 5 long long sum,s[2002][2002]={0};//数组s用来储存前缀和
 6 
 7 using namespace std;
 8 
 9 int main()
10 
11 {
12 
13             scanf("%d%d",&m,&n);
14 
15 for(i=1;i<=m;i++)//输入，赋值二维数组s
16 
17                 for(j=1;j<=n;j++)
18 
19                 {
20 
21                      scanf("%d",&a);//为了节省空间，以单个变量输入
22 
23                      s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a;
24 
25                 }
26 
27             scanf("%d",&k);
28 
29             while(k--)
30 
31             {
32 
33                  scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
34 
35                  sum=s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1];
36 
37                  printf("%lld\\n",sum);
38 
39             }
40 
41 }

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代码分析：

有三种方法：

1．    直接求解，按单个元素记录。因此，k次查询里每次都要有两个循环，一个横着在这个区间里扫描，另一个竖着扫描。

代码如下：

 1 #include<iostream>
 2 
 3 int a[2010][2010],m,n,i,j,k,b,c,d,e;
 4 
 5 long long sum;
 6 
 7 using namespace std;
 8 
 9 int main()
10 
11 {
12 
13     scanf("%d%d",&m,&n);
14 
15     for(i=1;i<=m;i++)
16 
17     {
18 
19         for(j=1;j<=n;j++)
20 
21         scanf("%d",&a[i][j]);
22 
23     }
24 
25     cin>>k;
26 
27     while(k--)
28 
29     {
30 
31         sum=0;
32 
33         scanf("%d%d%d%d",&b,&c,&d,&e);
34 
35         for(i=b;i<=d;i++)//两次循环
36 
37             for(j=c;j<=e;j++)
38 
39                 sum+=a[i][j];
40 
41         printf("%lld\\n",sum);
42 
43                
44 
45     }
46 
47 }

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这个方法显然效率太低，两次循环太耗费时间了，所以要考虑运用前缀和的办法了。

2．    利用之前数组储存前缀和的办法，给这个二维数组每行都求一个前缀和，然后在查询时，用要求的区间当中每一行的从y1到y2的和，用s[x][y2]-s[x][y1-1]（x为第x行）

所以采用这个方法效率比上一个方法更快。

代码：

 1 #include<iostream>
 2 
 3 int a,m,n,i,j,k,b,c,d,e,s[2002][2002]={0};
 4 
 5 long long sum;
 6 
 7 int main()
 8 
 9 {
10 
11     scanf("%d%d",&m,&n);
12 
13     for(i=1;i<=m;i++)
14 
15         for(j=1;j<=n;j++)
16 
17         {
18 
19             scanf("%d",&a);
20 
21             s[i][j]=s[i][j-1]+a;
22 
23         }
24 
25     scanf("%d",&k);
26 
27     while(k--)
28 
29     {
30 
31         sum=0;
32 
33         scanf("%d%d%d%d",&b,&c,&d,&e);
34 
35         for(i=b;i<=d;i++)
36 
37             sum+=(s[i][e]-s[i][c-1]);
38 
39         printf("%lld\\n",sum);
40 
41     }
42 
43 }

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这个方法不用两次循环，可还是有一次循环，但这还不能令人满意，有没有更快的方法呢？

分析上两个方法，我们发现：

这是第一个方法，它是以单个元素来求解的（以点做前缀和的）。一步步来累加。

第二个方法，前缀和，相当于是以行做单位求解。

既然，以行做前缀和的有了，    以点做前缀和的有了，那能不能以面做前缀和呢？

分析如下：

如此，推算赋值公式就如韦恩图那样：

 

把s[i-1][j]和s[i][j-1]加起来，s[i-1][j-1]部分重叠了，所以要减去，在加上输入的a，就得到：

s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a;

而输出就也像上面一样，s[x2][y2]是从坐标（1，1）开始的，所以要减去s[x2][y1-1]和s[x1-1][y2],s[x1-1][y1-1]被多减了，所以要加上。

代码：

 1 #include<iostream>
 2 
 3 long long sum,a,m,n,i,j,k,x1,y1,x2,y2,s[2002][2002]={0};
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 int main()
 8 
 9 {
10 
11     scanf("%d%d",&m,&n);
12 
13     for(i=1;i<=m;i++)
14 
15         for(j=1;j<=n;j++)
16 
17         {
18 
19             scanf("%d",&a);
20 
21             s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a;
22 
23         }
24 
25     scanf("%d",&k);
26 
27     while(k--)
28 
29     {
30 
31         scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
32 
33         sum=s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1];
34 
35         printf("%lld\\n",sum);
36 
37     }
38 
39 }

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这个方法只用一次运算便求出了解，所以它是三个方法中最快的方法。