NOIP2016提高A组模拟10.15算循环

Posted 2020-11-07 无尽的蓝黄

题目

分析

一步步删掉循环，
首先，原式是\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{k=i}^n\sum_{l=j}^m\sum_{p=i}^k\sum_{q=j}^l1\]
删掉最后两个循环
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{k=i}^n\sum_{l=j}^m(k-i+1)(l-j+1)\]
发现，当\(i,j\)固定，随着\(k,l\)的变化，\((k-i+1),(l-j+1)\)都是每次减少1
SO，
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[1+2+···+(n-i+1)][1+2+···+(m-j+1)]\]
再根据等差数列求和公式，
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\dfrac{(n-i+1)(n-i+2)(m-j+1)(m-j+2)}{4}\]
又发现\(\sum_{i=1}^n(n-i+1)(n-i+2),\)其实就是\(1*2+2*3+3*4+···+n*(n+1)\)
设其为\(g(n)\),\(m\)类似
答案就是\(\dfrac{g(n)*g(m)}{4}\)
接着考虑求\(g(n)\)
\[=1^2+1+2^2+2+3^2+3+···+n^2+n\]
\[=1^2+2^2+3^2+···+n^2+1+2+3+···+n\]
根据自然数幂和得
\[=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\dfrac{n(n+1)}{2}\]

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
const int maxlongint=2147483647;
const long long mo=1000000007;
const int N=10000005;
using namespace std;
long long ans,n,m,ny4,ans1,ans2,ny6;
long long mi(long long x,long long y)
{
    long long sum=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) sum=sum*x%mo;
        x=x*x%mo;
        y/=2;
    }
    return sum;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    n%=mo;
    m%=mo;
    ny4=mi(4,mo-2);
    ny6=mi(6,mo-2);
    ans1=((n*(n+1)%mo*(2*n+1)%mo*ny6%mo)+(n+1)*n/2%mo)%mo;
    ans2=((m*(m+1)%mo*(2*m+1)%mo*ny6%mo)+(m+1)*m/2%mo)%mo;
    printf("%lld",ans1*ans2%mo*ny4%mo);
}