行列式学习笔记

Posted 2020-11-06 sigongzi

我们来学习行列式！
对于一个矩阵，它的行列式是——
\(\sum_{i = 1}^{n} (-1)^{r(j_1j_2j_3..j_n)}a_{1,j_1}a_{2,j_2}a_{3,j_3}...a_{n,j_n}\)
\(j_1j_2j_3..j_n\)是一个1到n的排列
\(r(j_1j_2j_3..j_n)\)表示这个排列的逆序对数

一个特殊的行列式

上三角矩阵！
\(a_{1,1}\) \(a_{1,2}\) \(a_{1,3}\)
\(0\)     \(a_{2,2}\) \(a_{2,3}\)
\(0\)     \(0\)     \(a_{3,3}\)
这个矩阵行列式就非常愉快了，就是对角线上的乘积

然后看几个初等行变换

性质1

行列互换，行列式不变

行列互换其实就是一个矩阵的下标是\(a_{i,j}\)i和j互换，变成\(a_{j,i}\)
为啥不变呢。
因为原来生成的一个排列，例如2，1，4，3下标都是有序的，如果要把这个序列变成有序的，交换的次数就是逆序对的次数，而每交换一次，就会使新序列多一个逆序对，所以前后逆序对数都相等，r函数里的指数相等

性质2

行列式的一行因子可以提出

也就是一行都有k这个因子，可以提出k，计算剩余矩阵的行列式

性质3

两行互换，行列式反号

反号相当于交换两个数，会造成逆序对的奇偶性改变，所有的都改变……就反号了

性质4

将一行的倍数加到另一行上，行列式不变

可以这么想
\(a_{1,3}(a_{2,2} + k \* a_{1,2})a_{3,1}\)
那么多出来的似乎就是
\(a_{1,3}a_{1,2}a_{3,1}\)
我们如果算到
\(a_{2,3}a_{1,2}a_{3,1}\)会多算一个
\(a_{1,3}a_{1,2}a_{3,1}\)和上一个东西的逆序对奇偶性刚好是反的！这样的话就被消掉了，行列式的值还是不变的。

这样我们就可以用类似高斯消元的方法来求行列式了！