矩阵树定理(Matrix Tree)学习笔记

Posted 2020-10-25 HocRiser

如果不谈证明，稍微有点线代基础的人都可以在两分钟内学完所有相关内容。。

行列式随便找本线代书看一下基本性质就好了。

学习资源：

https://www.cnblogs.com/candy99/p/6420935.html

http://blog.csdn.net/Marco_L_T/article/details/72888138

首先是行列式对几个性质（基本上都是用数学归纳法证）：

1.交换两行（列），行列式取相反数

2.由1.得若存在两行（列）完全相同则行列式为0

3.上（下）三角行列式即主对角线值之积

只有这三条用得上。

然后就可以直接上Matrix Tree定理了：一个无向图的邻接矩阵减去度数矩阵得到的矩阵的任意n-1阶子矩阵的行列式的绝对值等于其有标号生成树的数目。

其中邻接矩阵-度数矩阵即为基尔霍夫矩阵（又称拉普拉斯算子）。

加强版：有向图的树形图（从根可以走到任意点）个数，将上面的“度数矩阵”改为“入度矩阵即可”（见第二份链接）

若求以x为根的外向树数量，则求删去第x行与第x列的n-1阶子矩阵的行列式即可。

关于行列式的算法，按定义朴素跑复杂度是阶乘级别的，利用上面的性质，初等行变换使之成为上三角矩阵即可。（实际上就是高斯消元）。注意高消中基准元要选绝对值最大的，以及注意判0退出。

下面是几道裸题：

SPOJ Highways  裸题

 

 1 #include<cmath>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 6 using namespace std;
 7 
 8 const int N=15;
 9 const double eps=1e-8;
10 
11 int T,n,m,u,v;
12 double a[N][N];
13 
14 void Gauss(){
15     n--;
16     rep(i,1,n){
17         int r=i;
18         rep(j,i+1,n) if (fabs(a[j][i])>fabs(a[r][i])) r=j;
19         if (fabs(a[r][i]<eps)) { puts("0"); return; }
20         if (r!=i) rep(k,1,n) swap(a[r][k],a[i][k]);
21         rep(j,i+1,n){
22             double t=a[j][i]/a[i][i];
23             rep(k,i,n) a[j][k]-=t*a[i][k];
24         }
25     }
26     double ans=1;
27     rep(i,1,n) ans*=a[i][i];
28     printf("%.0f\\n",abs(ans));
29 }
30 
31 int main(){
32     for (scanf("%d",&T); T--; ){
33         scanf("%d%d",&n,&m);
34         memset(a,0,sizeof(a));
35         rep(i,1,m) scanf("%d%d",&u,&v),a[u][u]++,a[v][v]++,a[u][v]--,a[v][u]--;
36         Gauss();
37     }
38     return 0;
39 }

 

BZOJ4766:

先手工构造出矩阵然后观察规律求出公式。

https://blog.sengxian.com/solutions/bzoj-4766

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 typedef long long ll;
 5 
 6 ll n,m,P;
 7 ll mod(ll x){ return (x<P) ? x : x-P; }
 8 
 9 ll mul(ll a,ll b){
10     ll res=0;
11     for (; b; b>>=1,a=mod(a+a))
12         if (b & 1) res=mod(res+a);
13     return res;
14 }
15 
16 ll pow(ll a,ll b){
17     ll res=1;
18     for (; b; b>>=1,a=mul(a,a))
19         if (b & 1) res=mul(res,a);
20     return res;
21 }
22 
23 int main(){
24     scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&P);
25     printf("%lld\\n",mul(pow(n,m-1),pow(m,n-1)));
26     return 0;
27 }

 

BZOJ4031 裸题

这里又个trick，高斯消元的时候因为模数是个合数不好求逆元，所以用辗转相除的方法做就好了。

就是不停对两行相互进行初等行变换直到其中一行第一个数变为0，这样复杂度是log的，并且保证膜意义下不会出错。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 5 typedef long long ll;
 6 using namespace std;
 7 
 8 const int N=105,md=1000000000;
 9 int n,m,a[N][N],id[N][N],tot;
10 char s[N][N];
11 
12 void Gauss(int n){
13     int s=0;
14     rep(i,1,n){
15         int r=i;
16         rep(j,i+1,n) if (a[j][i]>a[r][i]) r=j;
17         if (!a[r][i]) { puts("0"); return; }
18         if (i!=r){
19             s^=1;
20             rep(k,i,n) swap(a[i][k],a[r][k]);
21         }
22         rep(j,i+1,n){
23             while (a[j][i]){
24                 ll t=a[j][i]/a[i][i];
25                 rep(k,i,n) a[j][k]=(a[j][k]-t*a[i][k]%md+md)%md;
26                 if (!a[j][i]) break;
27                 s^=1;
28                 rep(k,i,n) swap(a[i][k],a[j][k]);
29             }
30         }
31     }
32     ll ans=1;
33     rep(i,1,n) ans=ans*a[i][i]%md;
34     if (s) ans=(md-ans)%md;
35     printf("%lld\\n",ans);
36 }
37 
38 void work(){
39     rep(i,1,m) rep(j,1,n) if (s[i][j]==\'.\') id[i][j]=++tot;
40     rep(i,1,m) rep(j,1,n) if (id[i][j]){
41         int u=id[i][j],v;
42         if (i!=1 && s[i-1][j]==\'.\')
43             v=id[i-1][j],a[u][u]++,a[v][v]++,a[u][v]--,a[v][u]--;
44         if (j!=1 && s[i][j-1]==\'.\')
45             v=id[i][j-1],a[u][u]++,a[v][v]++,a[u][v]--,a[v][u]--;
46     }
47     rep(i,1,m*n) rep(j,1,m*n) a[i][j]=(a[i][j]+md)%md;
48 }
49 
50 int main(){
51     freopen("bzoj4031.in","r",stdin);
52     freopen("bzoj4031.out","w",stdout);
53     scanf("%d%d",&m,&n);
54     rep(i,1,m) scanf("%s",s[i]+1);
55     work(); Gauss(tot-1);
56     return 0;
57 }