最小生成树计数(matrix tree矩阵树定理)
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了最小生成树计数(matrix tree矩阵树定理)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
Matrix-Tree 定理是解决生成树计数问题最有力的武器之一。它首先于 1847 年被Kirchhoff 证明。 在介绍定理之前, 我们首先明确几个概念:
1、 G 的度数矩阵 D[G]是一个 n*n 的矩阵, 并且满足: 当 i≠j 时,dij=0;当 i=j时, dij 等于 vi 的度数。
2、 G 的邻接矩阵 A[G]也是一个 n*n 的矩阵, 并且满足: 如果 vi、 vj 之间有边直接相连,则 aij=1,否则为 0。
我们定义 G 的 Kirchhoff 矩阵(也称为拉普拉斯算子)C[G]为 C[G]=D[G]-A[G],则 Matrix-Tree 定理可以描述为:
G 的所有不同的生成树的个数等于其 Kirchhoff矩阵 C[G]任何一个 n-1 阶主子式的行列式的绝对值。
所谓 n-1 阶主子式,就是对于 r(1≤r≤n),将 C[G]的第 r 行、第 r 列同时去掉后得到的新矩阵,用 Cr[G]表示。
证明略
[HEOI2015] 小z的房间
Description
你突然有了一个大房子,房子里面有一些房间。事实上,你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形,每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候,相邻的格子之间都有墙隔着。
Input
第一行两个数分别表示n和m。
Output
一行一个整数,表示合法的方案数 Mod 10^9
Sample Input
...
...
.*.
Sample Output
HINT
对于前100%的数据,n,m<=9
建模后跑基尔霍夫行列式即可,注意减法取模问题。
1 const mo=1000000000; 2 var 3 n,m,i,j,tot,cnt :longint; 4 map :array[0..10,0..10] of char; 5 num :array[0..10,0..10] of longint; 6 con :array[0..105,0..105] of longint; 7 g :array[0..105,0..105] of int64; 8 9 procedure swap(var x,y:int64); 10 var 11 z :int64; 12 begin 13 z:=x; 14 x:=y; 15 y:=z; 16 end; 17 18 function det():int64; 19 var 20 i,j,k :longint; 21 ret,tt :int64; 22 begin 23 for i:=1 to tot do 24 for j:=1 to tot do g[i,j]:=(g[i,j]+mo) mod mo; 25 ret:=1; 26 for i:=2 to tot do 27 begin 28 for j:=i+1 to tot do 29 begin 30 while g[j,i]<>0 do 31 begin 32 tt:=g[i,i] div g[j,i]; 33 for k:=i to tot do g[i,k]:=((g[i,k]-(tt*g[j,k]) mod mo)+mo) mod mo; 34 for k:=i to tot do swap(g[i,k],g[j,k]); 35 ret:=-ret; 36 end; 37 end; 38 if g[i,i]=0 then exit(0); 39 ret:=(ret*g[i,i]) mod mo; 40 end; 41 exit((ret+mo)mod mo) 42 end; 43 44 begin 45 readln(n,m); 46 for i:=1 to n do 47 begin 48 for j:=1 to m do read(map[i,j]); 49 readln; 50 end; 51 for i:=1 to n do 52 for j:=1 to m do 53 begin 54 if map[i,j]=‘*‘ then continue; 55 inc(tot); 56 num[i,j]:=tot; 57 end; 58 for i:=1 to n do 59 for j:=1 to m do 60 begin 61 if map[i,j]=‘*‘ then continue; 62 if (i>1) and (map[i-1,j]<>‘*‘) then con[num[i,j],num[i-1,j]]:=1; 63 if (i<n) and (map[i+1,j]<>‘*‘) then con[num[i,j],num[i+1,j]]:=1; 64 if (j>1) and (map[i,j-1]<>‘*‘) then con[num[i,j],num[i,j-1]]:=1; 65 if (j<m) and (map[i,j+1]<>‘*‘) then con[num[i,j],num[i,j+1]]:=1; 66 end; 67 for i:=1 to tot do 68 begin 69 cnt:=0; 70 for j:=1 to tot do 71 begin 72 if i=j then continue; 73 if (con[i,j]=1) then 74 begin 75 inc(cnt); 76 g[i,j]:=-1; 77 end; 78 end; 79 g[i,i]:=cnt; 80 end; 81 writeln(det()); 82 end.
以上是关于最小生成树计数(matrix tree矩阵树定理)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
BZOJ 1016 [JSOI2008]最小生成树计数 ——Matrix-Tree定理
BZOJ.1016.[JSOI2008]最小生成树计数(Matrix Tree定理 Kruskal)
HDU 4305 Lightning Matrix Tree定理