Bzoj 4591: [Shoi2015]超能粒子炮·改 数论,Lucas定理,排列组合

Posted 2020-07-11 微弱的世界

4591: [Shoi2015]超能粒子炮·改

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Description

曾经发明了脑洞治疗仪&超能粒子炮的发明家SHTSC又公开了他的新发明：超能粒子炮·改--一种可以发射威力更加

强大的粒子流的神秘装置。超能粒子炮·改相比超能粒子炮，在威力上有了本质的提升。它有三个参数n，k。它会

向编号为0到k的位置发射威力为C(n,k) mod 2333的粒子流。现在SHTSC给出了他的超能粒子炮·改的参数，让你求

其发射的粒子流的威力之和模2333。

 

Input

第一行一个整数t。表示数据组数。

之后t行，每行二个整数n，k。含义如题面描述。

k<=n<=10^18，t<=10^5

 

Output

t行每行一个整数，表示其粒子流的威力之和模2333的值。

 

Sample Input

1
5 5

Sample Output

32

HINT

 

Source

By 佚名上传

 

题解：

Lucas定理：C(n,k)%p=(C(n/p,k/p)*C(n%p,k%p))%p    (p为质数)

C(n,k)%2333=C(n/2333,k/2333)*C(n%2333,k%2333)

 

分两种部分考虑：

设k=k1*2333+k2 (0≤k1,k2)

1.对于k1部分

C(n,0)……C(n,2332)

=C(n/2333,0)*C(n%2333,0)+C(n/2333,0)*C(n%2333,1)+……+C(n/2333,0)*C(n%2333,2332) = C(n/2333,0)*(∑C(n%2333,i)(0≤i≤2332)) ==> 2333个

C(n,2333)……C(n,4665)

=C(n/2333,1)*C(n%2333,0)+C(n/2333,1)*C(n%2333,1)+……+C(n/2333,1)*C(n%2333,2332) = C(n/2333,1)*(∑C(n%2333,i)(0≤i≤2332)) ==> 2333个

C(n,4666)……C(n,6998)

=C(n/2333,2)*C(n%2333,0)+C(n/2333,2)*C(n%2333,1)+……+C(n/2333,2)*C(n%2333,2332) = C(n/2333,2)*(∑C(n%2333,i)(0≤i≤2332)) ==> 2333个

C(n,6999)……C(n,9331)

=C(n/2333,3)*C(n%2333,0)+C(n/2333,3)*C(n%2333,1)+……+C(n/2333,3)*C(n%2333,2332) = C(n/2332,3)*(∑C(n%2333,i)(0≤i≤2332)) ==> 2333个

…………

所以k1部分的总和sum=(∑C(n%2333,i)(0≤i≤2332))*(∑C(n/2333,j)(0≤j≤k1-1))

 

2.对于k2部分

C(n,k1*2333)……C(n,k)

=C(n/2333,k1)*C(n%2333,0)+C(n/2333,k1)*C(n%2333,1)+……+C(n/2333,k1)*C(n%2333,k%2333) ==> k%2333+1个

=C(n/2333,k1)*(∑C(n%2333,i)(0≤i≤k%2333))

 

由以上可得ans=(∑C(n%2333,i)(0≤i≤2332))*(∑C(n/2333,j)(0≤j≤k1-1))+C(n/2333,k1)*(∑C(n%2333,i)(0≤i≤k%2333))

 

预处理 S(n,k)=∑C(n,i)(0≤i≤k),化简ans=S(n%2333,2332)*(∑C(n/2333,j)(0≤j≤k1-1))+C(n/2333,k1)*S(n%2333,k%2333)

因为n%2333一定小于2333,所以可以用二维数组S(n,k)表示。但 ∑C(n/2333,j)(0≤j≤k1-1) 中n/2333可能很大，无法用二维数组存储，所以不把 ∑C(n/2333,j)(0≤j≤k1-1) 化简为 S(n/2333,k1-1)。但是可以发现 ∑C(n/2333,j)(0≤j≤k1-1) 与 要求的最终答案的公式的格式 ∑C(n,i)(0≤i≤k) 一样，所以可以递归求解。另外ans中的C(n/2333,k1)可以用Lucas定理求解。

 

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define LL long long
 4 #define MOD 2333
 5 LL jc[MOD+10],C[MOD+10][MOD+10],S[MOD+10][MOD+10];
 6 LL read()
 7 {
 8     LL s=0,fh=1;char ch=getchar();
 9     while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)fh=-1;ch=getchar();}
10     while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){s=s*10+(ch-‘0‘);ch=getchar();}
11     return s*fh;
12 }
13 LL mod(LL k,LL k1){return k-(k/k1)*k1;}
14 void cljc()
15 {
16     jc[0]=1LL;
17     for(int i=1;i<=MOD;i++)jc[i]=mod(jc[i-1]*i,MOD);
18 }
19 void clC()
20 {
21     int i,j;
22     C[0][0]=1LL;
23     for(i=1;i<=MOD;i++)
24     {
25         C[i][0]=C[i][i]=1LL;
26         for(j=1;j<i;j++)C[i][j]=mod(C[i-1][j]+C[i-1][j-1],MOD);
27     }
28     for(i=0;i<=MOD;i++)
29     {
30         S[i][0]=1LL;
31         for(j=1;j<=MOD;j++)S[i][j]=mod(S[i][j-1]+C[i][j],MOD);
32     }
33 }
34 LL ksm(LL bb,LL pp,LL kk)
35 {
36     LL s=1LL;
37     while(pp>0)
38     {
39         if(pp%2!=0)s=mod(s*bb,kk);
40         pp/=2;
41         bb=mod(bb*bb,kk);
42     }
43     return s;
44 }
45 LL Comb(LL n,LL m,LL p)
46 {
47     if(m>n)return 0LL;
48     if(m>n-m)m=n-m;
49     return mod(jc[n]*ksm(mod(jc[m]*jc[n-m],p),p-2,p),p);
50 }
51 LL Lucas(LL n,LL m,LL p)
52 {
53     if(m==0LL)return 1LL;
54     return mod(/*Comb(mod(n,p),mod(m,p),p)*/C[n%p][m%p]*Lucas(n/p,m/p,p),p);
55 }
56 LL getans(LL n,LL m,LL p)
57 {
58     if(m<0LL)return 0LL;
59     return mod(mod(S[mod(n,2333)][2332]*getans(n/2333,m/2333-1,p),p)+mod(Lucas(n/2333,m/2333,p)*S[mod(n,2333)][mod(m,2333)],p),p);
60 }
61 int main()
62 {
63     LL T,n,k;
64     cljc();
65     clC();
66     T=read();
67     while(T--)
68     {
69         n=read();k=read();
70         printf("%lld\n",getans(n,k,MOD));
71     }
72     fclose(stdin);
73     fclose(stdout);
74     return 0;
75 }