莫队算法——暴力出奇迹

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了莫队算法——暴力出奇迹相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

简介：

莫队这个算法是莫涛提出的。 用于处理一类不带修改的区间查询问题的离线 算法，其核心在于利用曼哈顿距离最小生成树 算法对区间处理顺序进行处理 。

——zrt课件

这个算法本质上其实是暴力，但是由于可以离线处理循环的顺序，使得复杂度可以从n^2降到n^根号n甚至更低。

对于可以找到以下特点的题可以尝试使用莫队：

1.莫队算法是离线处理一类区间不修改查询类问 题的算法。就是如果你知道了 [ L,R] 的答案。你 可以在 O(1 ) 或 O( lgn ) 的 时间下得到 [ L,R

1] 和 [ L,R+1] 和 [ L1,R] 和 [ L+1,R] 的答案的话。就可 以使用莫队算法 。 

2.需要预知所有的询问

例题一：

小Z的袜子

小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。

你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

分析：

通过组合数学推理可以得知：

对于 L,R 的询问。设其中颜色为 x,y,z ... 的 袜子 的个数为 a,b,c ... …

那么答案即为 (a*(a-1)/2+b*(b-1)/2+c*(c-1)/2....)/((R-L+1)*(R-L)/2 ) …

化简得 :(a^2+b^2+c^2+...x^2-( a+b+c+d +.....))/((R-L+1)*(R-L )) …

即： (a^2+b^2+c^2+...x^2-(R-L+1))/((R-L+1)*(R-L))

所以我们需要维护的是，从L到R这个区间中的每个袜子的种类数的平方和。

我们在移动L、R的时候，增加一个，sum+=cnt[x]×2.减少一个，sum=sum-cnt[x]×2+2 (sum是分子的总值。）

发现我们需要不断移动L、R，所以我们必须将所有的询问进行恰当的排序，使得L、R的移动次数尽可能小，才能降低时间复杂度。

首先要分块处理。

必须分块，如果单纯的通过l相等，按r排序的方法，可能会在l移动一个单位，r就要从另一边返回来，实际很慢。

之后我们这样排序：

struct node{
    int l,r;
    int hao;
    bool friend operator <(node a,node b)
    {
        if(id[a.l]==id[b.l])
        {
         if(id[a.l]&&1==1) return a.r<b.r;
         else return a.r>b.r;
        }
        return id[a.l]<id[b.l];
    }
}q[N];

先按照左端点所在块排序，再按照右端点排序。要注意的是：if(id[a.l]&&1==1) return a.r<b.r; else return a.r>b.r;

左端点所在块是奇数的时候，升序排列，否则降序排列，这样可以在L增加到下一个块的时候，r移动次数尽量小，最好情况下每次可以省n次，l最多跳n/unit次，可以省去n×n/unit次，当然绝大多数情况远没有这么好。

本题大概可以省去一共180ms

最后直接分子分母求gcd化简即可。

注意long long

详见代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define num ch-\'0\'
using namespace std;
const int N=100000+10;
ll kua;
void read(int &x)
{
    x=0;char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar()));
    for(x=num;isdigit(ch=getchar());x=x*10+num);
}
int n,m;
int id[N];
struct node{
    int l,r;
    int hao;
    bool friend operator <(node a,node b)
    {
        if(id[a.l]==id[b.l])
        {
         if(id[a.l]&&1==1) return a.r<b.r;
         else return a.r>b.r;
        }
        return id[a.l]<id[b.l];
    }
}q[N];
ll ans[N][2];
int a[N];
ll cnt[N];
ll sum;
int L,R;
ll gcd(ll x,ll y)
{
    return y==0?x:gcd(y,x%y);
}
int main()
{
    read(n),read(m);
    kua=sqrt(n);
    for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]),id[i]=(i-1)/kua+1;
    for(int i=1;i<=m;i++) read(q[i].l),read(q[i].r),q[i].hao=i;
    sort(q+1,q+m+1);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        //cout<<i<<" : "<<q[i].l<<" "<<q[i].r<<" "<<" from "<<q[i].hao<<endl;
        if(i==1){
            L=q[i].l,R=q[i].r;
            sum=0;
            for(int j=q[i].l;j<=q[i].r;j++)
            {
                cnt[a[j]]++;
            }
            for(int j=1;j<=n;j++)
             if(cnt[j]) sum+=cnt[j]*cnt[j];
            sum=sum-(ll)(q[i].r-q[i].l+1);
            ans[q[i].hao][0]=sum;
            ans[q[i].hao][1]=((ll)q[i].r-q[i].l+1)*((ll)q[i].r-q[i].l);
        }
        else{//duo 1 : sum+ 2*cnt[a[j]]
             //shao 1: sum- 2*cnt[a[j]]+2
            if(R<q[i].r)
            {
                while(R<q[i].r)
                {
                    R++;
                    sum=sum+2*cnt[a[R]];
                    cnt[a[R]]++;
                }
            }
            else if(R>q[i].r)
            {
                while(R>q[i].r)
                {
                    sum=sum-2*cnt[a[R]]+2;
                    cnt[a[R]]--;
                    R--;
                }
            }
            if(L<q[i].l)
            {
                while(L<q[i].l)
                {
                    sum=sum-2*cnt[a[L]]+2;
                    cnt[a[L]]--;
                    L++;
                }
            }
            else if(L>q[i].l)
            {
                while(L>q[i].l)
                {
                    L--;
                    sum=sum+2*cnt[a[L]];
                    cnt[a[L]]++;
                }
            }
            ans[q[i].hao][0]=sum;
            ans[q[i].hao][1]=((ll)q[i].r-q[i].l+1)*((ll)q[i].r-q[i].l);
        }
        //cout<<" after "<<sum<<endl;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        ll t1=ans[i][0],t2=ans[i][1];
        if(t1==0) t2=1;
        else{

            ll g=gcd(max(t1,t2),min(t1,t2));
            t1/=g;
            t2/=g;
        }
        printf("%lld",t1);
        printf("/");
        printf("%lld\\n",t2);
    }
    return 0;
}

但是莫队还可以处理一个更高级的题目种类。

带修改的题也可以考虑做！！

这样一个struct需要维护L,R,T三个，T为该询问是在第几次操作之后询问的。可以看做是一个time

例题二：

数颜色

分析详见友链(推荐）：莫队算法——大米饼

排序：

struct node{
    int l,r,t;
    int hao;
    bool friend operator <(node a,node b)
    {
        if(id[a.l]==id[b.l])
        {
            if(id[a.r]==id[b.r]) 
            {   
              if(id[a.r]&1) return a.t<b.t;
              return a.t>b.t;
            }
            return a.r<b.r;
        }
        return a.l<b.l;
    }
}q[N];

代码：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define num ch-\'0\'
using namespace std;
const int N=100000+10;
void read(int &x)
{
    x=0;char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar()));
    for(x=num;isdigit(ch=getchar());x=x*10+num);
}
int sum;
int n,m;
int a[N],b[N];
int cnt[1000000+10];
int id[N],len;
int ans[N];
int tim[N][3];

struct node{
    int l,r,t;
    int hao;
    bool friend operator <(node a,node b)
    {
        if(id[a.l]==id[b.l])
        {
            if(id[a.r]==id[b.r]) 
            {   
              if(id[a.r]&1) return a.t<b.t;
              return a.t>b.t;
            }
            return a.r<b.r;
        }
        return a.l<b.l;
    }
}q[N];
inline void add(int x)
{
    cnt[a[x]]++;
    sum+=(cnt[a[x]]==1);
}
inline void del(int x)
{
    cnt[a[x]]--;
    sum-=(cnt[a[x]]==0);
}
inline void add2(int ti,int l,int r,int k)//1->2 jia k
{
    if(l<=tim[ti][0]&&tim[ti][0]<=r)
    {   
        cnt[tim[ti][k]]++;
        sum+=(cnt[tim[ti][k]]==1);
    }
    a[tim[ti][0]]=tim[ti][k];
}
inline void del2(int ti,int l,int r,int k)//2->1 shan k
{
    if(l<=tim[ti][0]&&tim[ti][0]<=r)
    {   
        cnt[tim[ti][k]]--;
        sum-=(cnt[tim[ti][k]]==0);
    }
}

char que;
int has;
int tot;
int main()
{
    read(n);read(m);
    len=pow(n,0.666666);
    for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]),b[i]=a[i],id[i]=(i-1)/len+1;
    int x,y;
    has=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%c",&que);
        if(que==\'Q\')
        {
            tot++;
            read(x);read(y);
            q[tot].l=x,q[tot].r=y;
            q[tot].t=has;
            q[tot].hao=tot;
        }
        else{
            has++;
            read(x);read(y);
            tim[has][0]=x;tim[has][2]=y;
            tim[has][1]=b[x];
            b[x]=y;
        }
    }
    sort(q+1,q+tot+1);
    int L,R,T=0;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    {
        if(i==1)
        {
            L=q[i].l,R=q[i].r;
            for(int j=q[i].l;j<=q[i].r;j++)
            {
                cnt[a[j]]++;
                sum+=(cnt[a[j]]==1);
            }
            while(T<q[i].t) ++T,del2(T,L,R,1),add2(T,L,R,2);
            ans[q[i].hao]=sum;
        }
        else{
            while(T<q[i].t) ++T,del2(T,L,R,1),add2(T,L,R,2);
            while(T>q[i].t) del2(T,L,R,2),add2(T,L,R,1),T--;
            while(L<q[i].l) del(L++);
            while(L>q[i].l) add(--L);
            while(R<q[i].r) add(++R);
            while(R>q[i].r) del(R--);
            ans[q[i].hao]=sum;
        }
    }

    for(int i=1;i<=tot;i++)
      printf("%d\\n",ans[i]);
    return 0;
}

莫队算法——暴力出奇迹。

在做题实在没有思路的时候，不要忘了莫队。

 

 

upda：2019.3.24:

更新：

1.[学习笔记]树上莫队

2.还有回滚莫队：说白了就是栈序撤销

这样方便维护最大值莫队算法——从入门到黑题 - WAMonster - 博客园

 3.一般序列莫队，block=n/sqrt(m)最优

mblock+(n/block)*n最小

均值不等式

 

4.带修莫队最好这样排：

l，r都分块

l块相同，r块相同，t按照(l块+r块)的奇偶性升序降序排

如果r块不同，按照l块的奇偶性升序降序排

大概长这样：

绿色的是t轴变化

这样常数最小

 

以上是关于莫队算法——暴力出奇迹的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

SID1190471 / 烦人的幻灯片 暴力出奇迹 ！！！！！！！！！！！！！！！！！！

Post Lamps CodeForces - 990E（暴力出奇迹？）

莫队算法小介绍——看似暴力的莫队算法

莫队算法~练习一

莫队算法

51nod——1285 山峰和分段（暴力出奇迹）