题解环状最大两段子段和

Posted 2020-11-04 Twilight_Sx

　　哈哈哈哈就在快要放弃的时候盯着眼前画的图片突然之间柳暗花明( ? ?ω?? )?

　　首先，最大子段和想必大家都会做：对于每一个节点而言，只有选与不选两种可能的情况，枚举即可，贪心的省去一定不优的情况。然后再来考虑：如果没有环的话我们可以怎么做？没有环的情况下，我们所要做的就是找出不交叉的两个最大子段和，自然地联想到用一个分界线来分割这两个子段。g[i]代表1~i中的最大子段和，f[i]表示i~n中的最大子段和。此时的答案则是max(f[i] + g[i-1])。这几个操作的复杂度都是O(n)的。

　　可是这题有环呀……那怎么办？在纸上画出一个圆圈，标记两段记为选择的两段——好像正好将一个圆圈分成了四段？两段选，两段不选……好像一定有两段是在一条序列上的？（意思就是没有跨过标号不单调的区间的一段）。那么我们的问题可以转化为：求出选的两段在同一序列上的最大值，不选的两段在同一序列上的最小值，然后取这两个中间的最大值，就可以避开环的问题啦。再考虑这两种情况的区别——其实就是1号节点选与不选的分别啊。至此，解法就已经出来了。

　　不过还是有一些细节需要注意：1.可以全部都选择，所以不选的两段在同一序列上的最,大值为0；2.要保证去掉不选的之后至少剩下两个数，因为我们已经去掉了第一个节点，所以要枚举另一个空格的所在；

　　代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 205000
#define INF 99999999
int n, a[maxn], sum, q[maxn];
int ans = -INF, tem = 0, f[maxn], g[maxn];

int read()
{
    int x = 0, k = 1;
    char c;
    c = getchar();
    while(c < ‘0‘ || c > ‘9‘) { if(c == ‘-‘) k = -1; c = getchar(); }
    while(c >= ‘0‘ && c <= ‘9‘) x = x * 10 + c - ‘0‘, c = getchar();
    return x * k;
}

void DP(int tot)
{
    int ans = -INF, sum = 0;
    for(int i = 1; i <= tot; i ++) // Get g
    {
        if(sum < 0) sum = q[i];
        else sum += q[i];
        ans = max(sum, ans);
        g[i] = ans;
    }
    ans = -INF, sum = 0;
    for(int i = tot; i >= 1; i --) 
    {
        if(sum < 0) sum = q[i];
        else sum += q[i];
        ans = max(sum, ans);
        f[i] = ans;
    }
}

int main()
{
    n = read();
    for(int i = 1; i <= n; i ++) a[i] = read(), sum += a[i];
    for(int i = 1; i < n; i ++) q[i] = a[i + 1];
    DP(n - 1);
    for(int i = 2; i < n; i ++) ans = max(ans, f[i] + g[i - 1]);
    for(int i = 1; i < n; i ++) q[i] = -a[i + 1];
    DP(n - 1);
    for(int i = 2; i < n; i ++) tem = max(tem, max(max(f[i], q[i]), f[i] + g[i - 2]));
    ans = max(ans, (sum + tem));
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}