一个财主的故事-----从银行复利认识无理数e

Posted 2020-11-04 ribribrib2

        有个商人向财主借钱，期限为一年，利率为1（100％）。请问：你认为半年的利率应该是多少？…。一般地我们认为利率与期限成正比，即半年的利率为1／2(50％) 、一个季度的利率是1／4 、…。财主想：如果半年结一次帐利息岂不是更多？因为半年的利率是1／2，即借一元钱到半年时还1.5元，又把1.5元作为本金借给商人，再过半年，即到了年底又收利息1.5×50％＝0.75，这样一年的利息便是1.25元，比原来的1元利息确实多了0.25元。根据增长率模型，半年结算一次，即一年结算二次，则1元钱到年底总共要归还 ＝2.25（元）。财主转念一想（以下用图形计算器TI-92 Plus计算得到）：

        如果一年结算3次，利率为1/3，则1元钱到年底要归还 ＝2.37037…（元）；   

        如果一年结算4次，利率为1/4，则1元钱到年底要归还 ＝2.44141…（元）；     

        如果一年结算5次，利率为1/5，则1元钱到年底要归还 ＝2.48832…（元）；

        财主发现：年底收到的钱随着一年中结算次数的增加而增加，看起来似乎是个增函数。财主顿时高兴起来，要是一年中结算的次数越多，特别地要是随时都可以结算，岂不发了大财。财主继续计算：

        一年结算1000次，利率为1/1000，则1元钱到年底要归还 ＝2.71692…（元）；

        一年结算500000次，利率为1/500000，则1元钱到年底要归还 ＝2.71828…（元）；财主越算越高兴，高兴的是：随着结算次数的增加财主所得到的钱越来越多。同时也越来越失望，失望的是：增长得越来越慢。事实上更为糟糕的是一年中无论结算多少次，连本带利的增长总是不能突破一个上限，而这一点却是财主所不知晓的。大家知道是怎么回事吗？