MT182系数奇怪的二次函数

Posted 2020-11-03 青春的记忆

设函数$f(x)=3ax^2-2(a+b)x+b,$其中$a>0,b\\in R$ 证明:当$0\\le x\\le 1$时,$|f(x)|\\le \\max\\{f(0),f(1)\\}$

设函数$f(x)=3ax^2-2(a+b)x+b,$其中$a>0,b\\in R$
证明:当$0\\le x\\le 1$时,$|f(x)|\\le \\max\\{f(0),f(1)\\}$

分析:由$a>0$知道$\\max\\{f(0),f(1)\\}=\\max\\{|f(0)|,|f(1)|\\}$
则\\begin{align*}
|f(x)| & \\le |(3x^2-4x+1)f(0)+(3x^2-2x)f(1)| \\\\
&\\le(|3x^2-4x+1|+|3x^2-2x|)\\max\\{|f(0)|,|f(1)|\\}\\\\
&= \\max\\{|6x^2-6x+1|,|-2x+1|\\}\\max\\{|f(0)|,|f(1)|\\}\\\\
&\\le\\max\\{|f(0)|,|f(1)|\\}
\\end{align*}

注:奇怪的系数如果结合定积分在几何上是显然的。

练习:

(2012浙江压轴题)
已知$a>0,b\\in R$,函数$f(x)=4ax^3-2bx-a+b$.
1)证明:当$0\\le x\\le 1$时,
i)函数$f(x)$的最大值为$|2a-b|+a;$
ii)$f(x)+|2a-b|+a\\ge0$
2)若$-1\\le f(x)\\le 1$对$x\\in[0,1]$恒成立,求$a+b$的范围.