矩阵对应的二次型是啥?

Posted 2023-03-09

该矩阵对应的二次型为x²-y²+3z²+4xy+2xz。

矩阵对应的二次型求法：

设二次型对应矩阵为A，各项为aij。

1、带平方的项：按照1、2、3分别写在矩阵a11，a22，a33；

2、因为A是对称矩1653阵，所以x1x2的系数除以二分别写在a12，a21；

3、x1x3除以二分别写在a13、a31；x2x3除以二分别写在a23、a32。

扩展资料：

二次型的意义：

1、二次型其实是一种多元函数的二次函数，

而中间的矩阵Q相当于我们普通的二次函数的ax^2+bx+c=0的a，a>0，二次函数开口向上，函数为

凸函数；而在上面式子中，如果我们的Q正定，函数为凸函数；

这个二次函数在二次规划起了重大作用，二次规划的应用价值就不言而喻了，机器学习与统计一堆堆的 least square。

2、二次型有交叉项目，图形非圆锥类曲线，不规则；无交叉项，图形规则。有交叉项变成无交叉项最好的方法其实是配方，而正交化给了一种配方的固定手段。

参考技术A 二次型是科学研究的一个重要课题，它的定义是含有n个变量 , ........ 的二次齐次函数。有两种表示形式，多项式或者矩阵。

现代计算技术发展很快，矩阵计算可以使用计算器实现，并且从矩阵中可以看到更多关于二次型的信息，因此使用矩阵研究二次型就显得更加重要。

对二次型最重要的运算就是变量替换 X=CY 产生的二次型矩阵 A的变形。这里 X 是变向量在自然基（其基矩阵为单位矩阵 E）里的坐标，C表示一个替换基矩阵，Y是同一个变向量在替换基里的坐标。 AX ACY BY，这里的矩阵变换 AC=B 称为合同变换。注意C是基矩阵，所以必须满秩，C亦称为合同变换矩阵。

合同变换的主要目的是化简矩阵。在线性代数里有定理：任何非零矩阵 A可经有限次初等变换变为对角矩阵（标准形），并进一步变为规范形（对角元只含1，0的对角矩阵）。这里的初等变换是等价变换，它保持了矩阵的秩不变。具体的包括三种矩阵变换：（1）对换两行（列）。 （2）伸缩（以k 0乘某一行（列）中的所有元）。 （3）消元（以某一行（列）所有元的 k倍加到另一行（列）对应的元上去）。合同变换可以使用初等变换的方法，但是作了一些变动。这里A是对称矩阵，变换过程分两大步， 左乘A施行初等行变换，C右乘A施行同样的列变换。所以合同变换是对对称矩阵施行对称的行列变换。合同变换的结果是：（1）矩阵的秩不变。（2）矩阵的对称性不变。（3）因为进行了两次对称的变换（即对矩阵的第 i行和第 i列施行同样的初等变换），所以不会改变标准形中任一对角元的正负。这样二次型的规范形中含有1，-1，0三种元，且其个数是确定的，称为正（负）惯性指数。