一个关于x的二次多项式，当x=1时，多项式的值为1，这个多项式各项系数包括常项数的和为多少，请说明理由。

Posted 2023-05-08

设这个关于x的二次多项式是ax^2+bx+c
则当x=1时
他的值=a*1^2+b*1+c=a+b+c
因为x等于一时，多项式的值为-1
所以a+b+c=-1

而这个多项式的各项系数分别是a，b和c
所以各项系数和是a+b+c
所以多项式的各项系数的和是-1

设该多项式为ax^2+bx+c
当x=1时,a+b+c=1
所以各项系数包括常数项的和为1. 参考技术A 设这个关于x的二次多项式是ax^2+bx+c
则当x=1时
他的值=a*1^2+b*1+c=a+b+c
因为x等于一时，多项式的值为-1
所以a+b+c=-1

而这个多项式的各项系数分别是a，b和c
所以各项系数和是a+b+c
所以多项式的各项系数的和是-1 参考技术B 设这个关于x的二次多项式是ax^2+bx+c
则当x=1时
他的值=a*1^2+b*1+c=a+b+c
因为x等于一时，多项式的值为-1
所以a+b+c=-1

而这个多项式的各项系数分别是a，b和c
所以各项系数和是a+b+c
所以多项式的各项系数的和是-1 参考技术C 设该多项式为ax^2+bx+c
当x=1时,a+b+c=1
所以各项系数包括常数项的和为1.

逻辑回归-4.添加多项式特征

逻辑回归解决二分类问题，但是像下图所示的非线性数据集，是没办法用一条直线分割为两部分的。

对于此数据集，用一个圆形或者椭圆形分割是比较合理的，圆形的表达式：\\(X_1^2 + X_2^2 - R^2 = 0\\)
为了让逻辑回归学习到这样的决策边界，我们需要引入多项式项，\\(X_1^2,X_2^2\\)分别是\\(X_1,X_2\\)的二次多项式。使用多项式后，可以定义任意圆心位置的圆、椭圆或不规则形状的决策边界。

代码实现

构造数据集

import numpy
import matplotlib.pyplot as plt

numpy.random.seed(666)
X = numpy.random.normal(0,1,size=(200,2))
y = numpy.array(X[:,0]**2 + X[:,1]**2 < 1.5,dtype='int')

plt.scatter(X[y==0,0],X[y==0,1],color='red')
plt.scatter(X[y==1,0],X[y==1,1],color='blue')
plt.show()

逻辑回归算法测试

from mylib.LogisticRegression import LogisticRegression

log = LogisticRegression()
log.fit(X,y)

算法正确率只有60%

画出决策边界：

可以看出，用线性分类来拟合此数据集是错误的

添加多项式，并使用管道

from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

def PolynomialLogisticRegression(degree):
    return Pipeline([
        ('poly',PolynomialFeatures(degree=degree)),
        ('stand_scalor',StandardScaler()),
        ('log_reg',LogisticRegression())
    ])

poly_log_reg = PolynomialLogisticRegression(2)
poly_log_reg.fit(X,y)

注意：管道中的逻辑回归是自己实现的，但是能准确的传递到管道中，这是因为我们是仿照scikit-learn的标准实现的

添加多项式后，算法的准确率提高到了95%

决策边界：

当多项式项为20时

随着项数的增加，算法变得复杂，趋于过拟合，但为了得到复杂形状的决策边界，又不能过多的减小多项式项，此时，应该考虑模型的正则化，见下章。