luogu3723 [AH2017/HNOI2017]礼物 NTT

Posted 2020-11-02 Mychael

题目

我的室友最近喜欢上了一个可爱的小女生。马上就要到她的生日了，他决定买一对情侣手 环，一个留给自己，一
个送给她。每个手环上各有 n 个装饰物，并且每个装饰物都有一定的亮度。但是在她生日的前一天，我的室友突
然发现他好像拿错了一个手环，而且已经没时间去更换它了！他只能使用一种特殊的方法，将其中一个手环中所有
装饰物的亮度增加一个相同的自然数 c（即非负整数）。并且由于这个手环是一个圆，可以以任意的角度旋转它，
但是由于上面 装饰物的方向是固定的，所以手环不能翻转。需要在经过亮度改造和旋转之后，使得两个手环的差
异值最小。在将两个手环旋转且装饰物对齐了之后，从对齐的某个位置开始逆时针方向对装饰物编号 1,2,…,n，
其中 n 为每个手环的装饰物个数，第 1 个手环的 i 号位置装饰物亮度为 xi，第 2 个手 环的 i 号位置装饰物
亮度为 yi，两个手环之间的差异值为(参见输入输出样例和样例解释)： \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2麻烦你帮他
计算一下，进行调整（亮度改造和旋转），使得两个手环之间的差异值最小， 这个最小值是多少呢？

输入格式

输入数据的第一行有两个数n, m，代表每条手环的装饰物的数量为n，每个装饰物的初始 亮度小于等于m。
接下来两行，每行各有n个数，分别代表第一条手环和第二条手环上从某个位置开始逆时 针方向上各装饰物的亮度。
1≤n≤50000, 1≤m≤100, 1≤ai≤m

输出格式

输出一个数，表示两个手环能产生的最小差异值。
注意在将手环改造之后，装饰物的亮度 可以大于 m。

输入样例

5 6

1 2 3 4 5

6 3 3 4 5

输出样例

1

提示

【样例解释】

需要将第一个手环的亮度增加1，第一个手环的亮度变为： 2 3 4 5 6 旋转一下第二个手环。对于该样例，是将第

二个手环的亮度6 3 3 4 5向左循环移动 2017-04-15 第 6 页，共 6 页 一个位置，使得第二手环的最终的亮度为

：3 3 4 5 6。 此时两个手环的亮度差异值为1。

题解

我们设\(d_i = x_i + y_i\)
那么差异值为：
\[ \begin{aligned} &=\sum\limits_{i = 1}^{n} (d_i + r)^2 \&=\sum\limits_{i = 1}^{n}(d_i^2 + r^2 + 2d_ir) \&=\sum\limits_{i = 1}^{n} d_i^2 + nr^2 + 2r\sum\limits_{i = 1}^{n} d_i \\end{aligned} \]
后边可以直接确定，是二次函数最小值点
我们只需最小化
\[\sum\limits_{i = 1}^{n} d_i^2\]
如果我们将\(y\)倍长，对于一种错位关系，\(x_i与y_i\)的差为定值
我们实际求
\[min\{ \sum\limits_{j - i = k} x_i * y_j\} \qquad k \in [0,n - 1]\]
我们令\(t_i = x_{n - i + 1}\)
那么就是求
\[min\{ \sum\limits_{j + i= n + 1 + k} t_i * y_j\} \qquad k \in [0,n - 1]\]
说白了就是将\(x\)翻转

然后NTT即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long int
#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define BUG(s,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) cout<<s[i]<<‘ ‘; puts("");
using namespace std;
const int maxn = 400005,maxm = 100005,INF = 1000000000;
inline int read(){
    int out = 0,flag = 1; char c = getchar();
    while (c < 48 || c > 57){if (c == ‘-‘) flag = -1; c = getchar();}
    while (c >= 48 && c <= 57){out = (out << 3) + (out << 1) + c - 48; c = getchar();}
    return out * flag;
}
const int G = 3,P = 998244353;
LL A[maxn],B[maxn],L,R[maxn],n,m;
LL qpow(LL a,LL b){
    LL ans = 1;
    for (; b; b >>= 1,a = a * a % P)
        if (b & 1) ans = ans * a % P;
    return ans;
}
void NTT(LL* a,int f){
    for (int i = 0; i < n; i++) if (i < R[i]) swap(a[i],a[R[i]]);
    for (int i = 1; i < n; i <<= 1){
        LL gn = qpow(G,(P - 1) / (i << 1));
        for (int j = 0; j < n; j += (i << 1)){
            LL g = 1,x,y;
            for (int k = 0; k < i; k++,g = g * gn % P){
                x = a[j + k]; y = g * a[j + k + i] % P;
                a[j + k] = (x + y) % P; a[j + k + i] = (x - y + P) % P;
            }
        }
    }
    if (f == 1) return;
    int nv = qpow(n,P - 2); reverse(a + 1,a + n);
    for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = 1ll * a[i] * nv % P;
}
LL N,a[maxn],b[maxn],sum;
LL ans = 0;
int main(){
    N = read(); read();
    REP(i,N) sum += (a[i] = read());
    REP(i,N) sum -= (b[i] = read());
    LL r = -sum / N;
    ans = INF;
    ans = min(ans,N * (r - 1) * (r - 1) + 2 * sum * (r - 1));
    ans = min(ans,N * r * r + 2 * sum * r);
    ans = min(ans,N * (r + 1) * (r + 1) + 2 * sum * (r + 1));
    REP(i,N) ans += a[i] * a[i] + b[i] * b[i];
    REP(i,N) A[i] = a[N - i + 1],B[i] = B[N + i] = b[i];
    m = 3 * N; L = 0;
    for (n = 1; n <= m; n <<= 1) L++;
    for (int i = 0; i < n; i++) R[i] = (R[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1));
    NTT(A,1); NTT(B,1);
    for (int i = 0; i < n; i++) A[i] = A[i] * B[i] % P;
    NTT(A,-1);
    LL tmp = 0;
    for (int i = N + 1; i <= N + N; i++) tmp = max(tmp,A[i]);
    ans -= 2 * tmp;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}