[BZOJ5020][THUWC2017]在美妙的数学王国中畅游(LCT)

Posted 2020-11-01 HocRiser

5020: [THUWC 2017]在美妙的数学王国中畅游

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Description

数字和数学规律主宰着这个世界。

 

机器的运转，

 

生命的消长，

 

宇宙的进程，

 

这些神秘而又美妙的过程无不可以用数学的语言展现出来。

 

这印证了一句古老的名言：

 

“学好数理化，走遍天下都不怕。”

 

学渣小R被大学的数学课程虐得生活不能自理，微积分的成绩曾是他在教室里上的课的最低分。然而他的某位陈姓室友却能轻松地在数学考试中得到满分。为了提升自己的数学课成绩，有一天晚上（在他睡觉的时候），他来到了数学王国。

 

数学王国中，每个人的智商可以用一个属于 [0,1]的实数表示。数学王国中有 n 个城市，编号从 0 到 n−1 ，这些城市由若干座魔法桥连接。每个城市的中心都有一个魔法球，每个魔法球中藏有一道数学题。每个人在做完这道数学题之后都会得到一个在 [0,1] 区间内的分数。一道题可以用一个从 [0,1] 映射到 [0,1]的函数 f(x) 表示。若一个人的智商为 x ，则他做完这道数学题之后会得到 f(x)分。函数 f有三种形式：

 

    正弦函数 sin(ax+b) (a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])

 

    指数函数 e^(ax+b) (a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])

 

    一次函数 ax+b (a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1]

数学王国中的魔法桥会发生变化，有时会有一座魔法桥消失，有时会有一座魔法桥出现。但在任意时刻，只存在至多一条连接任意两个城市的简单路径（即所有城市形成一个森林）。在初始情况下，数学王国中不存在任何的魔法桥。

数学王国的国王拉格朗日很乐意传授小R数学知识，但前提是小R要先回答国王的问题。这些问题具有相同的形式，即一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v（即经过 u 到 v 这条路径上的所有城市，包括 u和 v ）且做了所有城市内的数学题后，他所有得分的总和是多少。

 

Input

第一行两个正整数 n,m 和一个字符串 type 。

表示数学王国中共有 n 座城市，发生了 m 个事件，该数据的类型为 type 。 

typet 字符串是为了能让大家更方便地获得部分分，你可能不需要用到这个输入。

其具体含义在【数据范围与提示】中有解释。

 

接下来 n 行，第 i 行表示初始情况下编号为 i 的城市的魔法球中的函数。

一个魔法用一个整数 f表示函数的类型，两个实数 a,b 表示函数的参数，若

    f=1,则函数为 f(x)=sin(ax+b)(a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])

    f=2,则函数为 f(x)=e^(ax+b)(a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])

    f=3,则函数为 f(x)=ax+b(a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1])

接下来 m行，每行描述一个事件，事件分为四类。

    appear u v 表示数学王国中出现了一条连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥 (0≤u,v<n,u≠v) ，保证连接前 u和 v 这两座城市不能互相到达。

    disappear u v 表示数学王国中连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥消失了，保证这座魔法桥是存在的。

    magic c f a b 表示城市 c 的魔法球中的魔法变成了类型为 f ，参数为 a,b 的函数

    travel u v x 表示询问一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v 

（即经过 u到 v 这条路径上的所有城市，包括 u 和 v ）后，他得分的总和是多少。

 若无法从 u 到达 v ，则输出一行一个字符串 unreachable。

1≤n≤100000,1≤m≤200000

 

Output

对于每个询问，输出一行实数，表示得分的总和。

 

Sample Input

3 7 C1
1 1 0
3 0.5 0.5
3 -0.5 0.7
appear 0 1
travel 0 1 0.3
appear 0 2
travel 1 2 0.5
disappear 0 1
appear 1 2
travel 1 2 0.5

Sample Output

9.45520207e-001
1.67942554e+000
1.20000000e+000

HINT

 

Source

 

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这个题一看就知道是LCT，但问题是无法合并。

于是泰勒展开，嫌麻烦就直接在x=0处麦克劳林展开，大概到15项左右在题目要求的精度下就可以忽略拉格朗日余项了。

大力将结论式代入二项式定理展开。

https://www.cnblogs.com/lokiii/p/8455839.html

（为什么要代入二项式定理啊，cmath库里不是有sin,cos和exp函数么）

链式法则化一下就好了

https://blog.csdn.net/Coldef/article/details/74146653

愚蠢的我抄了上一种。

 

其余部分其实就是LCT模板了，然而模板打错三处，花了两个小时对着标程找错误。

低错害死人。

 

  1 #include<cstdio>
  2 #include<cstring>
  3 #include<algorithm>
  4 #define ls T[x].ch[0]
  5 #define rs T[x].ch[1]
  6 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
  7 typedef double db;
  8 using namespace std;
  9 
 10 const int N=100010,D=17;
 11 int n,m,x,y;
 12 db p,at[20],bt[20],c[20][20],fac[20];
 13 char op[12];
 14 
 15 inline int rd(){
 16     char ch=getchar(); int x=0,t=0;
 17     while (ch<\'0\' || ch>\'9\') t|=(ch==\'-\'),ch=getchar();
 18     while (ch>=\'0\' && ch<=\'9\') x=x*10+ch-\'0\',ch=getchar();
 19     return (t) ? -x : x;
 20 }
 21 
 22 struct P{
 23     db v[20],s[20],A,B;
 24     int fa,ch[2],sz,rev,type;
 25     void calc(){
 26         memset(v,0,sizeof(v));
 27         if (type==1){
 28             at[0]=bt[0]=1;
 29             rep(i,1,D) at[i]=at[i-1]*A,bt[i]=bt[i-1]*B;
 30             for (int i=1; i<=D; i+=2){
 31                 int f=(i%4==1)?1:-1; rep(j,0,i) v[j]+=f*at[j]*bt[i-j]*c[i][j]/fac[i];
 32             }
 33         }
 34         if (type==2){
 35             at[0]=bt[0]=1;
 36             rep(i,1,D) at[i]=at[i-1]*A,bt[i]=bt[i-1]*B;
 37             rep(i,0,D) rep(j,0,i) v[j]+=at[j]*bt[i-j]*c[i][j]/fac[i];
 38         }
 39         if (type==3) v[0]=B,v[1]=A;
 40     }
 41 }T[N];
 42 
 43 inline bool isroot(int x){ return (!T[x].fa) || (T[T[x].fa].ch[0]!=x && T[T[x].fa].ch[1]!=x); }
 44 
 45 void upd(int x){
 46     rep(i,0,D) T[x].s[i]=T[ls].s[i]+T[rs].s[i]+T[x].v[i];
 47     T[x].sz=T[ls].sz+T[rs].sz+1;
 48 }
 49 
 50 void rot(int x){
 51     int y=T[x].fa,z=T[y].fa,w=T[y].ch[1]==x;
 52     if (!isroot(y)) T[z].ch[T[z].ch[1]==y]=x;
 53     T[y].ch[w]=T[x].ch[w^1]; T[T[x].ch[w^1]].fa=y; T[x].ch[w^1]=y;
 54     T[y].fa=x; T[x].fa=z; upd(y);
 55 }
 56 
 57 void rev(int x){ T[x].rev^=1; swap(ls,rs); }
 58 void push(int x){ if (T[x].rev) rev(ls),rev(rs),T[x].rev=0; }
 59 void pd(int x){ if (!isroot(x)) pd(T[x].fa); push(x); }
 60 
 61 void splay(int x){
 62     pd(x);
 63     while (!isroot(x)){
 64         int y=T[x].fa,z=T[y].fa;
 65         if (!isroot(y)) rot(((T[z].ch[1]==y)^(T[y].ch[1]==x)) ? x : y);
 66         rot(x);
 67     }
 68     upd(x);
 69 }
 70 
 71 int find(int x){ while (T[x].fa) x=T[x].fa; return x; }
 72 void access(int x){ for (int y=0; x; y=x,x=T[x].fa) splay(x),rs=y,upd(x); }
 73 void mkroot(int x){ access(x); splay(x); rev(x); }
 74 void link(int x,int y){ mkroot(x); T[x].fa=y; }
 75 void cut(int x,int y){ mkroot(x); access(y); splay(y); T[y].ch[0]=T[x].fa=0; upd(y); }
 76 
 77 void que(db x,int u,int v){
 78     if (find(u)!=find(v)) { printf("unreachable\\n"); return; }
 79     mkroot(u); access(v); splay(v);
 80     db y=1,ans=0; rep(i,0,D) ans+=y*T[v].s[i],y*=x;
 81     printf("%.8e\\n",ans);
 82 }
 83 
 84 void init(){
 85     fac[0]=1; rep(i,1,D) fac[i]=fac[i-1]*i;
 86     rep(i,0,D) c[i][0]=1;
 87     rep(i,1,D) rep(j,1,i) c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
 88 }
 89 
 90 int main(){
 91     freopen("bzoj5020.in","r",stdin);
 92     freopen("bzoj5020.out","w",stdout);
 93     scanf("%d%d%s",&n,&m,op); init();
 94     rep(i,1,n) scanf("%d%lf%lf",&T[i].type,&T[i].A,&T[i].B),T[i].calc(),upd(i);
 95     rep(i,1,m){
 96         scanf("%s",op);
 97         if (op[0]==\'a\') x=rd()+1,y=rd()+1,link(x,y);
 98         if (op[0]==\'d\') x=rd()+1,y=rd()+1,cut(x,y);
 99         if (op[0]==\'m\') x=rd()+1,splay(x),scanf("%d%lf%lf",&T[x].type,&T[x].A,&T[x].B),T[x].calc(),upd(x);
100         if (op[0]==\'t\') x=rd()+1,y=rd()+1,scanf("%lf",&p),que(p,x,y);
101     }
102     return 0;
103 }