THUWC2017在美妙的数学王国中畅游（bzoj5020）

Posted 2021-01-30 scx2015noip-as-php

我数学是真的菜！！

清华光用数学知识就把我吊起来打，我还是太菜了

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题解

如果每座城市的 $f$ 都是 $3$，维护一下树的路径上的 $sum a,space sum b$ 即可。

其实就是维护一次项和常数项。由于只有两项，所以很好维护。

这样维护的原理是多项式（这里是一次函数）可以合并，所以要求一条路径的答案，只要把 $x$ 代入这条路径上所有点合并后的多项式即可。

由于前三个操作需要动态树，套 $LCT$ 即可（我强行再学一遍 $LCT$……）

 

但 $sin(ax+b)$ 和 $e(ax+b)$ 都不是多项式，没法合并啊！（也就是说我们只能暴力求路径上每个点的答案再求和）

然后思考一下，看看题，发现底部给了你一个泰勒展开的公式。

泰勒展开是什么？就是通过求导数，把一个奇怪的函数展开成多项式。这个多项式的项数无穷多，但我们可以只保留前面若干项，保留的项数越多，这个多项式的结果就越接近原函数的结果。（因为越往后的项，值越接近无穷小，小到 $10^{-???}$ 次方的那种，可以忽略不计）

再看一下输出要求，答案只要精确到 $10^{-7}$ 就行，然后应该就明白要干什么了……

 

泰勒公式：$$f(x)=sum_{i=0}^{n} frac{f^{(i)}(x_0)*(x-x_0)^i}{i!}$$

其中 $f^{(i)}(x)$ 表示函数 $f(x)$ 的 $i$ 阶导。

然后复习一下怎么求导吧……（雾）

 

指数函数求导：$$(a^x)‘=a^x*ln a$$

（$lnspace a$ 代表取自然对数，即底数为 $e$）

特殊的：$$(e^x)‘=e^x$$

三角函数求导：$$(sin x)‘=cos x$$

$$(cos x)‘=-sin x$$

$$(-sin x)‘=-cos x$$

$$(-cos x)‘=sin x$$

四个一循环，其实就是圆上的四个象限。

复合函数的求导公式：

 

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如果你数学学得好，这题就是个 $LCT$ 裸题（前提是你能熟练秒切 $LCT$）

然而对我明显无效