卡特兰数(Catalan Number) 算法数论 组合~

Posted 2020-07-10 谙忆

Catalan number，卡特兰数又称卡塔兰数，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。

卡特兰数的前几个数
前20项为（OEIS中的数列A000108）：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190

在这里我只详细证明一个例子：
(和我后面要写的一个HD题目有关).(HD1133题)
即排队买票问题(出栈次序问题)：
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
　　有2n个人排成一行进入公园。入场费1元。其中只有n个人有一张1元钞票，另外n人只有2元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有2元的人买票，售票处就有1元的钞票找零？(将持1元者到达视作将1元入栈，持2元者到达视作使栈中某1元出栈)

不难看出，该题求的是左端点为首元素的任意区间内，1的个数大于等于2的个数。

方法一：折现法
可以认为问题是，任意两种操作，持1元者买票是操作一，持2元买票者是操作二。要求每种操作的总次数一样，且进行第k次操作2前必须先进行至少k次操作1。我们假设一个人在原点，操作1是此人沿右上角45°走一个单位（一个单位设为根号2，这样他第一次进行操作1就刚好走到（1,1）点），操作2是此人沿右下角45°走一个单位。第k次操作2前必须先进行至少k次操作1，就是说明所走出来的折线不能跨越x轴走到y=-1这条线上！在进行n次操作1和n此操作2后，此人必将到到达（2n，0）！若无跨越x轴的限制，折线的种数将为C（2n，n），即在2n次操作中选出n次作为操作1的方法数。

现在只要减去跨越了x轴的情况数。对于任意跨越x轴的情况，必有将与y=-1相交。找出第一个与y=-1相交的点k，将k点以右的折线根据y=-1对称（即操作1与操作2互换了）。可以发现终点最终都会从（2n，0）对称到（2n，-2）。由于对称总是能进行的，且是可逆的。我们可以得出所有跨越了x轴的折线总数是与从（0,0）到（2n,-2）的折线总数。而后者的操作2比操作1要多0-（-2）=2次。即操作1为n-1,操作2为n+1。总数为C（2n，n-1）。

这个证明的关键就是最终一定会到达（2n,0)这个点。

对于不满足情况的方案，它一定会越过y=-1，捉住这个特点，我们可将求不合法的方案数这个问题换个说法来：从（0，0）到（2n,-2)一共有多少种走法？这个走法数就是C(2n,n-1)因为走右下角的要多走2步，同时一共只走2n步，那就右下角走n+1步，方案法就是2n选n-1.

合法数=C(2n,n)-C(2n,n-1);

方法二：

还可以等价为求从A点到B点不超过(可接触)红色对角线的最短路径的数量。

如图，易知所有超过红色红色对角先的路径都会碰到绿线。
对A做关于绿线的对称点A’。则A’到B点的路径总数即为非法路径总数。

合法路径数=总路径数-非法路径数=C(2n,n)-C(2n,n-1)。

每個人都是不一樣的，所以需要全排列* n!*n!

可以推广到一般形式，1元的m人，2元的n人。
( C(m+n,n) - C(m+n,m+1) ) * m! * n!=
( C(m+n,n) - C(m+n,n-1) ) * m! * n!