Catalan Number-卡特兰数入门

Posted 2022-05-07 moyujiang

卡特兰数

首先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。同时，我们假定，从开始到栈第一次出到空为止，这段过程中第一个出栈的序数是k。特别地，如果栈直到整个过程结束时才空，则k=n。
令h(0)=1，h(1)=1，Catalan数满足递归式：h(n) = h(0)h(n-1) + h(1)h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)
该递推关系的解为：h(n) = C(2n,n)/(n+1)，n=0,1,2,3,... （其中C(2n,n)表示2n个物品中取n个的组合数）

问题描述

盛况空前的足球赛即将举行。球赛门票售票处排起了球迷购票长龙。

按售票处规定，每位购票者限购一张门票，且每张票售价为50元。在排成长龙的球迷中有N个人手持面值50元的钱币，另有N个人手持面值100元的钱币。假设售票处在开始售票时没有零钱。试问这2N个球迷有多少种排队方式可使售票处不致出现找不出钱的尴尬局面。
例如当n=2是，用A表示手持50元面值的球迷，用B表示手持100元钱的球迷。则最多可以得到以下两组不同的排队方式，使售票员不至于找不出钱。
第一种:A A B B
第二种:A B A B

问题解决

这一类的问题有很多，但最终都脱离不了一个问题：
栈的进出先后顺序
很明显，在栈里，是只有先进了才能出，类似于..左右括号匹配问题(?)
虽然暴搜是可以解决数据范围比较小的问题，但是如果数据大了就需要一些公式...

公式

公式一
递归公式
h(0)=h(1)=1
h(n)= h(0)h(n-1)+h(1)h(n-2) + … + h(n-1)*h(0) (n>=2)
如果我们用这个公式显然我们要使用递归算法，那么数据一大就在时空上很麻烦

公式二
递推公式
h(n)=h(n-1)(4n-2)/(n+1)
这个公式应用递推，看上起十分和善
但对大数据呢？
我们注意到大数据的时候h(n)会很大，这时候题目一般会让你对某素数取模（当然你可以打高精度（划掉））
但你在取模过程中难保一个h(n)%mod=0
那么根据公式下面所有的数都会等于0.

公式三
组合数公式1
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,…)
卡特兰数可以与组合数联系起来，得到上面的公式
而组合数就是一个杨辉三角，可以递推得到（这个不属于这道题的讨论范围我假装你们都会（逃））
但我们发现对于大数据你要取模，而对于除法你是没办法用膜的性质的（当然你可以应用逆元（划掉）），所以造成了麻烦

公式四
组合数公式2
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1) (n=0,1,2,…)
与组合数公式1不同这个是两个组合数的减法
减法是可以用膜的性质的.

ov.