程序员数学--卡特兰数（Catalan number）

Posted 2023-01-22 smile4lee

10个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问有多少种排列方式?

我们可以先把这10个人从低到高排列，然后，选择5个人排在第一排，那么剩下的5个人肯定是在第二排。用0表示对应的人在第一排，用1表示对应的人在第二排，那么含有5个0，5个1的序列，就对应一种方案。

比如0000011111就对应着
第一排:0 1 2 3 4 
第二排:5 6 7 8 9 
0101010101就对应着
第一排:0 2 4 6 8
第二排:1 3 5 7 9
所以，看到问题相应的转换为，这样的满足条件的01序列有多少个。
观察规律我们发现1的出现前边必须有一个相应的0对应，所以从左到右的所有序列中0的个数要一直大于1的个数。那这种数列有多少种排列方式呢？那么我们从左往右扫描，第一次出现1的个数等于0的个数是第k位，那么在此之前，0的个数是大于1的个数的。在此之后，0的个数也是大于1的个数的。所以第k位0和1的个数第一次相等的排列有他们这两部分的个数相称的结果。那么所有的k有多少种，则把它们相加起来，就是最后的排列数。这是一个递归的问题。即   

a(n)=a(0)×a(n-1)+a(1)*a(n-2)+...+a(n-1)*a(0)

卡特兰数非常经典，很多现实的问题都是卡特兰数，如合法的入栈出栈序列有多少种就是卡特兰数，为什么呢？我们可以把0看成入栈操作，1看成出栈操作，即0的累计个数不小于1的排列有多少种。还有很多其他的问题都是卡特兰数，如二叉树的个数，有序树的个数，多边形分成三角形的个数等。

卡特兰数的通项是c(2n, n)/(n+1)。

注意组合数学中的运算：A(m, n) = m! / (m-n)!,    C(m, n) = A(m, n) / n! = m! / ((m-n)!*n!),因此卡特兰数的通项：

         C(2n, n)/(n+1) = (2n!) / ((2n - n)! * n!)  / (n + 1) = (2n!) / (n! * n!) / (n + 1)

卡特兰数的问题应用：

1. 圆周上有标号为1，2，3，4，……，2n的共计2n个点，这2n个点配对可连成n条弦，且这些弦两两不相交的方式数为卡特兰数C_n

2. 游乐园门票1元一张，每人限购一张。现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友每人只有1元的钞票一张，另5个小朋友每人只有2元的钞票一张，售票员没有准备零钱。问：有多少种排队方法，使售票员总能找的开零钱？
   

3. 甲乙两人比赛乒乓球，最后结果为20∶20，问比赛过程中甲始终领先乙的计分情形的种数。

   即甲在得到1分到19分的过程中始终领先乙，其种数是卡特兰数

   
   

   
   

4. 饭后，姐姐洗碗，妹妹把姐姐洗过的碗一个一个放进碗橱摞成一摞。一共有n个不同的碗，洗前也是摞成一摞的，也许因为小妹贪玩而使碗拿进碗橱不及时，姐姐则把洗过的碗摞在旁边，问：小妹摞起的碗有多少种可能的方式？

   答：得数是第n个卡特兰数C_n。

• 一个汽车队在狭窄的路面上行驶，不得超车，但可以进入一个死胡同去加油，然后再插队行驶，共有n辆汽车，问共有多少种不同的方式使得车队开出城去？

  
  

  1. 括号化问题。一个合法的表达式由()包围，()可以嵌套和连接，如(())()也是合法 表达式；现在有 6 对()，它们可以组成的合法表达式的个数为

  2. 矩阵连乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

  3. 出栈次序问题。一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

  4. 类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

  5. 将多边行划分为三角形问题。将一个凸N+2多边形区域分成三角形区域的方法数?类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

  6. 给顶节点组成二叉树的问题。给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树，（能构成h（N）个）Catalan数的解法Catalan数的组合公式为 Cn=C(2n,n) / (n+1);

  7. 此数的递归公式为 h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)

     卡特兰数真是一个神奇的数字，很多组合问题的数量都和它有关系，例如：

     Cn= n对括号正确匹配组成的字符串数，例如 3对括号能够组成：

     ((())) ()(()) ()()() (())() (()())

     Cn= n+1个数相乘，所有的括号方案数。例如， 4个数相乘的括号方案为：

     ((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd))

     Cn= 拥有 n+1 个叶子节点的二叉树的数量。例如 4个叶子节点的所有二叉树形态：

     

     • Cn=n*n的方格地图中，从一个角到另外一个角，不跨越对角线的路径数，例如， 4×4方格地图中的路径有：

     

     • Cn= n+2条边的多边形，能被分割成三角形的方案数，例如 6边型的分割方案有：

     

     • Cn= 圆桌周围有 2n个人，他们两两握手，但没有交叉的方案数。

     
     

     下面是一些大公司的笔试题

     先来一道阿里巴巴的笔试题目：说16个人按顺序去买烧饼，其中8个人每人身上只有一张5块钱，另外8个人每人身上只有一张10块钱。烧饼5块一个，开始时烧饼店老板身上没有钱。16个顾客互相不通气，每人只买一个。问这16个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。

     C8=1430，所以总数=1430*8！*8！

     2012腾讯实习招聘笔试题

     在图书馆一共6个人在排队，3个还《面试宝典》一书，3个在借《面试宝典》一书，图书馆此时没有了面试宝典了，求他们排队的总数？

     C3=5；所以总数为5*3！*3！=180.