最短路径算法——Dijkstra算法

Posted 2020-10-31 GnibChen

 

       与Floyd-Warshall算法一样这里仍然使用二维数组e来存储顶点之间边的关系，初始值如下。

 

       我们还需要用一个一维数组dis来存储1号顶点到其余各个顶点的初始路程，如下。

 

       我们将此时dis数组中的值称为最短路的“估计值”。

       既然是求1号顶点到其余各个顶点的最短路程，那就先找一个离1号顶点最近的顶点。通过数组dis可知当前离1号顶点最近是2号顶点。当选择了2号顶点后，dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“确定值”，即1号顶点到2号顶点的最短路程就是当前dis[2]值。为什么呢？你想啊，目前离1号顶点最近的是2号顶点，并且这个图所有的边都是正数，那么肯定不可能通过第三个顶点中转，使得1号顶点到2号顶点的路程进一步缩短了。因为1号顶点到其它顶点的路程肯定没有1号到2号顶点短，对吧O(∩_∩)O~

       既然选了2号顶点，接下来再来看2号顶点有哪些出边呢。有2->3和2->4这两条边。先讨论通过2->3这条边能否让1号顶点到3号顶点的路程变短。也就是说现在来比较dis[3]和dis[2]+e[2][3]的大小。其中dis[3]表示1号顶点到3号顶点的路程。dis[2]+e[2][3]中dis[2]表示1号顶点到2号顶点的路程，e[2][3]表示2->3这条边。所以dis[2]+e[2][3]就表示从1号顶点先到2号顶点，再通过2->3这条边，到达3号顶点的路程。

       我们发现dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此dis[3]要更新为10。这个过程有个专业术语叫做“松弛”。即1号顶点到3号顶点的路程即dis[3]，通过2->3这条边松弛成功。这便是Dijkstra算法的主要思想：通过“边”来松弛1号顶点到其余各个顶点的路程。

 

       同理通过2->4（e[2][4]），可以将dis[4]的值从∞松弛为4（dis[4]初始为∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此dis[4]要更新为4）。

       刚才我们对2号顶点所有的出边进行了松弛。松弛完毕之后dis数组为：

 

       接下来，继续在剩下的3、4、5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点。通过上面更新过dis数组，当前离1号顶点最近是4号顶点。此时，dis[4]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。下面继续对4号顶点的所有出边（4->3，4->5和4->6）用刚才的方法进行松弛。松弛完毕之后dis数组为：

 

       继续在剩下的3、5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点，这次选择3号顶点。此时，dis[3]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对3号顶点的所有出边（3->5）进行松弛。松弛完毕之后dis数组为：

 

       继续在剩下的5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点，这次选择5号顶点。此时，dis[5]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对5号顶点的所有出边（5->4）进行松弛。松弛完毕之后dis数组为：

 

       最后对6号顶点所有点出边进行松弛。因为这个例子中6号顶点没有出边，因此不用处理。到此，dis数组中所有的值都已经从“估计值”变为了“确定值”。

       最终dis数组如下，这便是1号顶点到其余各个顶点的最短路径。

 

       OK，现在来总结一下刚才的算法。算法的基本思想是：每次找到离源点（上面例子的源点就是1号顶点）最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。基本步骤如下：

• 将所有的顶点分为两部分：已知最短路程的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q。最开始，已知最短路径的顶点集合P中只有源点一个顶点。我们这里用一个book[ i ]数组来记录哪些点在集合P中。例如对于某个顶点i，如果book[ i ]为1则表示这个顶点在集合P中，如果book[ i ]为0则表示这个顶点在集合Q中。

• 设置源点s到自己的最短路径为0即dis=0。若存在源点有能直接到达的顶点i，则把dis[ i ]设为e[s][ i ]。同时把所有其它（源点不能直接到达的）顶点的最短路径为设为∞。

• 在集合Q的所有顶点中选择一个离源点s最近的顶点u（即dis[u]最小）加入到集合P。并考察所有以点u为起点的边，对每一条边进行松弛操作。例如存在一条从u到v的边，那么可以通过将边u->v添加到尾部来拓展一条从s到v的路径，这条路径的长度是dis[u]+e[u][v]。如果这个值比目前已知的dis[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前dis[v]中的值。

• 重复第3步，如果集合Q为空，算法结束。最终dis数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>

#define MAX 6
#define INF 0xFFFFFFFF


/*
 * Dijkstra最短路径。
 * 即，统计图中"顶点"到其它各个顶点的最短路径。
 *
 * 参数说明：
 *     vMatrix        -- 邻接矩阵
 *     apex           -- 起始顶点(start vertex)。即计算"顶点apex"到其它顶点的最短路径。
 *     prePoint       -- 前驱顶点数组。prePoint[i]的值是"顶点apex"到"顶点i"的最短路径所经历的全部顶点中，位于"顶点i"之前的那个顶点。
 *     finalPointVal  -- 长度数组。dist[i]是"顶点apex"到"顶点i"的最短路径的长度。
 */
void dijkstra(unsigned int vMatrix[][MAX], int apex, unsigned int prePoint[], unsigned int finalPointVal[])
{    
    int i, k;
    unsigned int temp, min;
    int flag[MAX] = {0};// flag[i]=1表示"顶点apex"到"顶点i"的最短路径已成功获取。
    for (int i=0; i<MAX; i++)
    {
        flag[i] = 0;        // 顶点i的最短路径还没获取到。
        prePoint[i] = 0;    // 顶点i的前驱顶点为0。
        finalPointVal[i] = vMatrix[apex][i];    //顶点i的最短路径为"顶点apex"到"顶点i"的权。
    }
    
    // 对"顶点apex"自身进行初始化
    flag[apex] = 1;
    prePoint[apex] = 0;
    
    // 遍历,每次找出到一个顶点的最短路径。
    for (i=1; i<MAX; i++)
    {
        min = INF;
        for (int j=0; j<MAX; j++)//寻找当前最小的路径，即数组finalPointVal，中最小的权的定点
        {
            if (flag[j]==0 && finalPointVal[j]<min)
            {
                min = finalPointVal[j];
                k = j;
            }
        }
        flag[k] = 1;// 标记"顶点k"为已经获取到最短路径
        
        for (int j=0; j<MAX; j++)//修正当前最短路径和前驱顶点，即：当已经"顶点k的最短路径"之后，更新"未获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点"
        {
            temp = (vMatrix[k][j]==INF ? INF:(min+vMatrix[k][j]));
            if (flag[j]==0 && temp<finalPointVal[j])
            {
                finalPointVal[j] = temp;
                prePoint[j] = k;
            }
        }
    }
    
    for (i = 0; i < MAX; i++)
        std::cout << "shortest(1," << i+1 << ") = " << finalPointVal[i] << std::endl;
        
}


int main(int argc, char *argv[])
{
    unsigned int prePoint[MAX];
    unsigned int desPoint[MAX];
    unsigned int vMatrix[MAX][MAX] = {{0, 1, 12, INF, INF, INF},
                           {INF, 0, 9, 3, INF, INF},
                           {INF, INF, 0, INF, 5, INF},
                           {INF, INF, 4, 0, 13, 15},
                           {INF, INF, INF, INF, 0, 4},
                           {INF, INF, INF, INF, INF, 0}};
                           
    
    memset(prePoint, 0, sizeof(prePoint));
    memset(desPoint, 0, sizeof(desPoint));
    dijkstra(vMatrix, 0, prePoint, desPoint);
    return 0;
}

 

参考博客：https://blog.csdn.net/heroacool/article/details/51014824

　　　　    http://blog.51cto.com/ahalei/1387799